Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.4 - Ex. 46

(a) A função

corresponde ao gráfico da Figura 4. Mostre que e existem, mas não é diferenciável em . [Sugestão: Utilize o resultado do Exercício 45.]

(b) Explique por que e não são contínuas em .

Passo 1

Oie, vamos resolver essa atividade juntos agora.

A gente tem a função a seguir:

Devemos mostrar que e no ponto existem, mas que a nossa função não é diferenciavel neste ponto.

Para isso nós iremos utilizar as definições de derivadas, com limites, para provarmos cada uma dessas proposições:

Nos atentando para o fato de que temos uma função dada por condicional.

Para a letra , sabemos que uma função deve ser continua se e , então deveremos mostrar que ou os limites não existem ou eles são diferentes dos valores dessas funções.

Passo 2

(a) Para calcular as derivadas desta função, vamos ter que usar a definição, então

Substituindo os valores:

Podemos dize que

Temos então que:

Repetindo o processo para :

Podemos dize que

Teremos então:

As derivadas parciais de em existem e são .

Passo 3

Se olharmos agora para o limite da função, quando

Vamos agora calcular o limite, a gente pode tomar diferentes caminhos para chegar em . Se pegarmos o caminho :

Como :

Temos então:

Se nos aproximarmos por :

Como :

Simplificando:

Teremos então:

Como a função se aproxima com dois valores diferentes, o limite não existe.

No exercício 45 achamos que se uma função é diferenciável, então ela é contínua, se não é contínua, então ela não é diferenciável, apesar de suas derivadas parciais existirem em todo o domínio.