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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.3 - Ex. 32

Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo.

x , y x 2 + y 2 ≤ 1   o u   4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9

Passo 1

Oie, gente, tudo certo??

Nessa questão, é dado um conjunto:

x , y x 2 + y 2 ≤ 1   o u   4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9

E precisamos descobrir se ele é aberto, conexo, e simplesmente conexo.

Tá... mas o que raios é isso??

Vamos lembrar essas definições:

  1. Aberto: para todo ponto do conjunto existe uma bola aberta centrada nesse ponto que esteja inteira no conjunto.

    2. Na prática, quer dizer que as curvas que limitam o conjunto não pertencem a ele:

  2. Conexo: quaisquer dois pontos no conjunto podem ser ligados por um caminho inteiro dentro do conjunto.

    3. Na prática, o conjunto não é constituído de dois ou mais pedaços separados.

  3. Simplesmente conexo: é conexo, e qualquer curva fechada contorna só pontos que estejam dentro do conjunto.

Na prática, além de ser conexo, não tem nenhum buraco no conjunto.

Então, a gente vai começar desenhando o nosso conjunto no R 2 , pra conseguir comparar com essas definições que acabamos de ver!

Daí vemos uma por uma se nosso conjunto se encaixa ou não nas definições.

Vamos?

Passo 2

O conjunto é

D = x , y x 2 + y 2 ≤ 1   o u   4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 9

Essas expressões com x 2 + y 2 dizem pra gente que estamos falando de regiões circulares! São três circunferências que definem D :

x 2 + y 2 = 1 2

x 2 + y 2 = 2 2

x 2 + y 2 = 3 2

Os casos x 2 + y 2 ≤ r 2 estamos dentro do círculo. Já pra x 2 + y 2 ≥ r 2 estamos fora do círculo.

Ou seja: estamos dentro de um círculo de raio 1 , ou entre um círculo de raio 2 e outro de raio 3 , e as três circunferências estão incluídas, então:

Passo 3

(a)

Nesse nosso conjunto, as curvas que limitam são as três circunferências. Olhando pro desenho e pras expressões, percebe que todas são “ ≥ ” ou “ ≤ ”, então o conjunto inclui essas curvas! Dessa forma:

Não, o conjunto não é aberto.

Passo 4

(b)

Só de olhar pro desenho a gente já vê que temos dois pedaços separados: um círculo e uma coroa circular... como ele não é uma região única,

Não, o conjunto não é conexo.

Passo 5

(c)

E aqui nem precisamos perder muito tempo – se não é conexo, não é simplesmente conexo:

Não, o conjunto não é simplesmente conexo.

Resposta

  1. Não
  2. Não
  3. Não
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Existe um campo vetorial G → em R 3 tal que rot ⁡ G → = x y z , - y 2 z , y z 2 ? Explique.
Existe um campo vetorial G → em R 3 tal que rot ⁡ G → = x sen ⁡ y , cos ⁡ y , z - x y ? Explique.
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Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = ∇ f F x , y , z = e zi + j + x e zk