Para quais valores de r a função y = e^(rt) satisfaz a equação diferencial y'' + y' - 6y = 0 ?

Passo 1

O exercício fornece uma função y = e r t que deve ser solução da equação diferencial

y ' ' + y ' - 6 y = 0

Devemos achar para quais valores de r essa função será solução da EDO! Para isso, devemos achar y ' e y ' ' e substituir na equação!

Derivando a função dada:

y ' = r e r t

Derivando novamente,

y ' ' = r 2 e r t

Passo 2

Substituindo y , y ' e y ' ' na equação:

r 2 e r t + r e r t - 6 e r t = 0

Assim,

r 2 + r - 6   e r t = 0

Como e r t ≠ 0 , devemos ter

r 2 + r - 6 = 0

Resolvendo essa equação pela fórmula de Báskara:

r = - 1 ± 1 + 24 2 = - 1 ± 5 2

Portanto, os possíveis valores de r são

r = - 3             e             r = 2

Resposta

r = - 3             e             r = 2

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