Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.5 - Ex. 18
Use o roteiro desta seção para esboçar a curva
Passo 1
Pra começar, vamos encontrar o domínio da função.
A única restrição que temos é o nosso denominador ser diferente de . Assim,
Então o domínio, fica:
Passo 2
Agora vamos ver os pontos de interseção com os eixos. Se :
Logo,
E se :
Passo 3
Para analisarmos a simetria. É importante vermos se nossa função é impar ou par. Então vem comigo:
Vamos ver como fica o :
Assim,
Com isso vemos que nossa função não é nem par pois nem impar pois .
Passo 4
Seguindo o roteiro, chegamos à tarefa de analisar as assíntotas caso existam.
- Assíntota horizontal:
- Assíntota vertical: Como temos a restrição , vamos ver se temos uma assíntota nesse ponto.
Quando podemos desprezar o termo no denominador e o fator no numerador. Logo,
Portanto,
O mesmo acontece para
Para :
Logo,
Passo 5
Para acharmos os intervalos de crescimento e decrescimento, temos que achar .
Usando a regra do quociente, temos:
Isto é,
Repare que a função é sempre positiva, pois o quadrado de qualquer número é positivo.
Passo 6
Agora temos que achar os valores máximo e mínimos. Para isso, vamos fazer :
Logo,
Passo 7
Pra finalizar, vamos analisar a concavidade nos pontos de inflexão. Para isso, temos que achar .
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Se :
Resolvendo:
ou
Isso quer dizer, que nossa função possuirá concavidade para cima nesse intervalo.
Se :
Resolvendo:
ou
Portanto, que nossa função possuirá concavidade para baixo nesse intervalo.
Passo 8
Pra finalizar, basta esboçarmos a curva:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)