Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.8 - Ex. 114
a. Determine uma curva com as seguintes propriedades:
i)
ii) Seu gráfico passa pelo ponto , e possui nesse ponto uma tangente horizontal.
b. Quantas curvas como essa existem? Como você sabe?
Passo 1
O que pode ser feito para encontrar a solução do P.V.I. é integrar a expressão diferencial que o enunciado fornece e aplicar as condições iniciais para determinar as constantes que aparecem após a integração.
Deve-se lembrar, também, que a primeira derivada representa o coeficiente angular, tal informação que pode ser analisada pelo item (ii).
O fato da tangente ser horizontal no ponto dado, significa que o coeficiente angular é nulo.
Passo 2
Com essa informação, pode-se encontrar a função da curva integrando esta equação diferencial, tal que:
Passo 3
Aplicando as informações do item (ii), temos que e, então:
Com isso,
Passo 4
Para encontrar a função primitiva que será a função da curva desejada, integra-se a primeira derivada:
Passo 5
Aplicando novamento o ponto dado (:
Portanto, a função da curva é .
Resposta
A curva é .
Existem infinitas curvas como essa. Isso se deve ao fato de que a constante pode ter qualquer valor, o que faria com que a posição inicial da curva se alterasse, mas a sua forma não, ou seja, as condições (i) e (ii) ainda seriam atendidas.