Derive.

y = [ln(x^2 + 1)]^3

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Temos que g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

u = g x = ln ⁡ x 2 + 1

f u = u 3

Assim temos então que:

y ' = f ' g x ⋅ g ' x = u 3 ' ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 '

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função logarítmica natural, da função constante e do polinômio:

ln ⁡ f x ' = 1 f x ⋅ f ( x ) '

c ' = 0

x n ' = n x n - 1

Passo 3

Primeiro vamos calcular f ' g x :

f ' g x = u 3 ' = 3 u 3 - 1 = 3 u 2

Agora para g ' x :

g ' x = ln ⁡ x 2 + 1 ' = 1 x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 ' = 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x 2 - 1 + 0 = 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x = 2 x x 2 + 1

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = u 3 ' ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 ' = 3 u 2 ⋅ 2 x x 2 + 1

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y ' = 3 u 2 ⋅ 2 x x 2 + 1 = 3 ln ⁡ x 2 + 1 2 ⋅ 2 x x 2 + 1 = 6 x ln ⁡ x 2 + 1 2 x 2 + 1

Resposta

y ' = 6 x ln ⁡ x 2 + 1 2 x 2 + 1

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