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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4q

Derive.

y = [ln (x^2 + 1)]^3

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da cadeia:

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Temos que g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = ln (x^2 + 1)

f (u) = u^3

Assim temos então que:

y^' = f^' (g (x)) * g^' (x) = (u^3)^' * (ln (x^2 + 1))^'

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função logarítmica natural, da função constante e do polinômio:

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Primeiro vamos calcular f^' (g (x)) :

f^' (g (x)) = (u^3)^' = 3 u^(3 - 1) = 3 u^2

Agora para g^' (x) :

g^' (x) = (ln (x^2 + 1))^' = (1)/(x^2 + 1) * (x^2 + 1)^' = (1)/(x^2 + 1) * (2 x^(2 - 1) + 0) = (1)/(x^2 + 1) * (2 x) = (2 x)/(x^2 + 1)

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = (u^3)^' * (ln (x^2 + 1))^' = 3 u^2 * ((2 x)/(x^2 + 1))

E por último é só substituir de volta a substituição que fizemos com u :

y^' = 3 u^2 * ((2 x)/(x^2 + 1)) = 3 (ln (x^2 + 1))^2 * ((2 x)/(x^2 + 1)) = (6 x (ln (x^2 + 1))^2)/(x^2 + 1)

Resposta

y^' = (6 x (ln (x^2 + 1))^2)/(x^2 + 1)

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