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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 62

Se h (x) = sqrt(4 + 3 f ( x )) , onde f (1) = 7 e f^' (1) = 4 , encontre h ' ( 1 ) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos descobrir a derivada h^' no ponto x = 1 (ou seja, queremos h^' (1) ) dado que:

h (x) = sqrt(4 + 3 f ( x ))

Onde:

  • f (1) = 7 ;
  • f^' (1) = 4 .

Para isso, deveremos utilizar algumas técnicas de derivação que estamos aprendendo.

Uma elas é a regra da cadeia, onde a derivada de uma função pode ser dada da seguinte forma:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Outras regrinhas a gente vai vendo no decorrer da resolução, belezinha?

Agora vamos lá aplicar!!

Mas antes... primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:

h (x) = sqrt(4 + 3 f ( x )) = (4 + 3 f ( x ))^((1)/(2))

Passo 2

Vamos agora derivar essa expressão, usando quatro regras:

Da soma:

[f (x) + g (x)]^' = f^' (x) + g ' ( x )

Da função constante:

(c)^' = 0

Da multiplicação por constante:

(k f (x))^' = k f ' ( x )

Passo 3

Vamos aplicar as regras:

h^' (x) = ((4 + 3 f (x))^((1)/(2)))^' :.

h^' (x) = (1)/(2) (4 + 3 f (x))^((1)/(2) - 1) (4 + 3 f (x))^' :.

h^' (x) = (1)/(2) (4 + 3 f (x))^(- (1)/(2)) (0 + 3 f^(' (x))) :.

h^' (x) = (3 f ' (x))/(2 sqrt(4 + 3 f (x)))

Passo 4

Como queremos a derivada de h no ponto 1 , é só aplicar esse valor na expressão da derivada que acabamos de achar e substituir os outros dados que nos foram dados no enunciado:

h^' (1) = (3 f^' (1))/(2 sqrt(4 + 3 f (1))) :.

h^' (1) = (3.4)/(2 sqrt(4 + 3.7)) :.

h^' (1) = (6)/(5)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

h^' (1) = (6)/(5)

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