Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v → .

f(x, y) = x / (x^2 + y^2), (1, 2), v = (3, 5)

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!

A questão é bem direta: Ela nos dá uma função f x , y e pede para encontrarmos a derivada na direção v → quando x ,   y = 1 ,   2 !

Mas como encontramos isso?

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → unitário qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Mas de cara a gente vê que v → não é unitário, então nosso checklist vai ser:

Normalizar v → ;

Encontrar o gradiente de f ;

Substituir tudo na fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Para normalizar um vetor nós o dividimos pelo tamanho dele

u → = v → v →

Tamanho esse dado por:

v → = 3 2 + 5 2

v → = 34

De forma que

u → = 3 34 , 5 34

Passo 3

O gradiente ∇ f de uma fun��ão f é o conjunto de suas derivadas parciais. Nesse caso temos f x e f y !

Para encontrar f x nós derivamos f em x considerando y constante, de forma que

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x x x 2 + y 2

Que pode ser utilizado usando a regra do quociente! De forma que chegamos no seguinte

∂ f ∂ x = x 2 + y 2 - x ⋅ 2 x ( x 2 + y 2 ) ²

De forma que

f x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Da mesma forma, agora vamos encontrar f y

∂ f ∂ y = x ∂   x 2 + y 2 - 1   ∂ y

Utilizando a regra da cadeia, encontramos

f y = - 2 x y x 2 + y 2 2

De forma que

∇ f x ,   y = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ,   - 2 x y x 2 + y 2 2

Assim, substituindo o ponto a ,   b = ( 1 ,   2 )

∇ f x ,   y = 2 2 - 1 2 1 2 + 2 2 2 ,   - 2 ⋅ 1 ⋅ 2 1 2 + 2 2 2

∇ f 1 ,   2 = 3 25 , - 4 25

Portanto, após substituir esses dados na equação da derivada direcional

D u f 1 ,   2 = 3 25 , - 4 25 ⋅ 3 34 , 5 34

Logo,

D u f 1 ,   2 = - 11 25 34

Resposta

D u f 1 ,   2 = - 11 25 34

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