a) Se u → = (a, b) é uma unidade vetorial e f tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que

D_u^2 f = f_(xx) a^2 + 2 f_(xy) ab + f_(yy) b^2

b) Determine a derivada direcional de f(x, y) = x * e^(2y) na direção de v → = (4, 6) .

Passo 1

Oie, tudo bem? Espero que esteja tranquilo e pronto para mais um dia de aprendizado.

A gente tem um vetor:

u → = ( a ,   b )

O problema pede para deduzirmos uma expressão para a segunda derivada direcional na direção do vetor u → :

D u 2 f = f x x a 2 + 2 f x y a b + f y y b 2

Para isso, basta usar que

D u 2 f = D u D u f

A primeira derivada é dada por

D u f = ∇ f ⋅ u →

Assim, a segunda derivada será encontrada derivando o resultado da primeira, após realizarmos essas duas contas, conseguiremos provar o que nos foi pedido.

Já no item b e gente vai utilizar o resultado obtido no item a para resolver a derivada direcional.

Passo 2

No item (a):

Derivando primeiro:

D u f = ∇ f ⋅ u →

Colocando o gradiente de f :

D u f = f x , f y ⋅ a ,   b

Realizando o produto vetorial:

D u f = f x a + f y b

Agora a gente precisa derivar novamente:

D u 2 f = D u f x a + f y b

D u 2 f = ∇ f x a + f y b ⋅ ( a ,   b )

Tomando o gradiente, temos que:

∇ f x a + f y b = ( f x x a + f y x b ,   f x y a + f y y b )

Assim,

D u 2 f = f x x a + f y x b ,   f x y a + f y y b ⋅ a ,   b

Realizando o produto vetorial:

D u 2 f = f x x a 2 + f y x + f x y a b + f y y b 2

Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, as derivadas mistas são iguais:

f x y = f y x

Assim,

D u 2 f = f x x a 2 + 2 f x y a b + f y y b 2

Passo 3

No item (b) vamos usar a expressão deduzida no item (a) para o caso f x , y = x e 2 y e v → = ( 4 ,   6 ) .

O primeiro passo é calcular as derivadas:

f x , y = x e 2 y

Deriva em relação a x :

f x = e 2 y

Agora derivando em relação a y e utilizando a regra da cadeia:

f y = 2 x e 2 y

Assim,

Derivando novamente:

f x = e 2 y

f x x = 0

Agora a gente deriva f x em relação a y :

f x = e 2 y

Temos então:

f x y = f y x = 2 e 2 y

E agora a gente deriva f y em relação a y :

f y = 2 x e 2 y

Temos então:

f y y = 4 x e 2 y

Por fim, note que   v → = ( 4 ,   6 ) não está normalizado, isso é, precisamos encontrar o vetor unitário de v → .

v → = 16 + 36

v → = 52

v → = 2 13

Assim unitário do vetor será:

a , b = 4 2 13 , 3 2 13

a = 2 13             e             b = 3 13

Usando a fórmula deduzida no item (a):

D u 2 f = 0 ⋅ 4 13 + 2 ⋅ 2 e 2 y ⋅ 6 13 + 4 x e 2 y ⋅ 9 13

Logo,

D u 2 f = 12   e 2 y   ( 2 + 3 x ) 13

Resposta

  1. Ver o desenvolvimento;

D u 2 f = 12   e 2 y   ( 2 + 3 x ) 13

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