Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 40
a) Se é uma unidade vetorial e tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, mostre que
b) Determine a derivada direcional de na direção de .
Passo 1
Oie, tudo bem? Espero que esteja tranquilo e pronto para mais um dia de aprendizado.
A gente tem um vetor:
O problema pede para deduzirmos uma expressão para a segunda derivada direcional na direção do vetor :
Para isso, basta usar que
A primeira derivada é dada por
Assim, a segunda derivada será encontrada derivando o resultado da primeira, após realizarmos essas duas contas, conseguiremos provar o que nos foi pedido.
Já no item e gente vai utilizar o resultado obtido no item para resolver a derivada direcional.
Passo 2
No item (a):
Derivando primeiro:
Colocando o gradiente de :
Realizando o produto vetorial:
Agora a gente precisa derivar novamente:
Tomando o gradiente, temos que:
Assim,
Realizando o produto vetorial:
Como as derivadas de segunda ordem são contínuas, as derivadas mistas são iguais:
Assim,
Passo 3
No item (b) vamos usar a expressão deduzida no item (a) para o caso e .
O primeiro passo é calcular as derivadas:
Deriva em relação a :
Agora derivando em relação a e utilizando a regra da cadeia:
Assim,
Derivando novamente:
Agora a gente deriva em relação a :
Temos então:
E agora a gente deriva em relação a :
Temos então:
Por fim, note que não está normalizado, isso é, precisamos encontrar o vetor unitário de
Assim unitário do vetor será:
Usando a fórmula deduzida no item (a):
Logo,
Resposta
- Ver o desenvolvimento;