Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 59
Onde a reta normal ao paraboloide no ponto intercepta o paraboloide uma segunda vez?
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Vamos lá responder mais uma!
A questão nos dá uma função e pergunta onde a reta normal à ela no ponto a toca em uma segunda vez.
Se a gente definir essa função como
Então temos que o vetor normal a no ponto é dado por
Então se a gente modelar uma reta nessa direção, podemos testar onde ela coincide com a função novamente!
Dessa forma nosso checklist vai ser:
Encontrar o vetor gradiente ;
Modelar a equação da reta;
Comparar à função e isolar o ponto.
Passo 2
Definimos a função como
De forma que
Sendo assim, o vetor gradiente será
No ponto
Passo 3
A fórmula para modelar uma reta em três dimensões é bem similar à que tínhamos em duas dimensões
Onde é uma constante escalar qualquer
Para o nosso caso
Substituindo os valores
Ou ainda
Passo 4
Da equação da reta, tiramos
Como queremos achar a interseção dessa reta com o paraboloide, vamos substituir essas equações na equação do paraboloide
De forma que, substituindo , e , temos
Ou ainda
A solução é o próprio ponto ! Mas isolando também encontramos
Substituindo na equação da reta
Portanto, o ponto procurado é