Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V x , y , z = 5 x 2 - 3 x y + x y z . a) Determine a taxa de variação do potencial em P ( 3,4 , 5 ) na direção do vetor u → = i ^ + j ^ - k ^ b) Em qual direção V varia mais rapidamente em P ?c) Qual a taxa máxima de variação em P ?

a) 32 b) v → = 38 i ^ + 6 j ^ + 12 k ^ 1624 c) ∇ V 3 ,4 ,5 = 1624

Enunciado

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!

A questão nos dá uma função e nos faz três perguntas:

a) Qual a derivada direcional de no ponto e na direção ?

A derivada direcional de uma função num ponto em uma direção unitária qualquer é dada por

Onde é o gradiente (conjunto das derivadas parciais) da função !

Dessa forma, para definirmos nós só precisamos definir todos os termos dessa equação!

b) Qual a direção em que é máximo?

O valor máximo ocorre na direção do gradiente, de forma que, uma vez calculado, só precisamos normalizar o vetor!

c) Qual o valor máximo de ?

O valor máximo é simplesmente o módulo do gradiente !

Ou seja, vamos calcular o gradiente da função e com isso já teremos quase todas as respostas!

O gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais da função, nesse caso , e !

Assim, para encontrar

Analogamente, para temos

E por fim, para

Então o gradiente é dado por

A derivada direcional é dada

Realizando essa multiplicação escalar, temos

Ou ainda

Substituindo o ponto

b) varia mais intensamente na direção do gradiente! O nosso gradiente no ponto é dado por

E podemos ainda normalizar esse vetor para deixá-lo unitário:

c) A taxa máxima de variação de é simplesmente dada pelo módulo do gradiente!