Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 33
Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .
a) Determine a taxa de variação do potencial em na direção do vetor
b) Em qual direção varia mais rapidamente em ?
c) Qual a taxa máxima de variação em ?
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de derivada direcional, vamos lá!
A questão nos dá uma função e nos faz três perguntas:
a) Qual a derivada direcional de no ponto e na direção ?
A derivada direcional de uma função num ponto em uma direção unitária qualquer é dada por
Onde é o gradiente (conjunto das derivadas parciais) da função !
Dessa forma, para definirmos nós só precisamos definir todos os termos dessa equação!
b) Qual a direção em que é máximo?
O valor máximo ocorre na direção do gradiente, de forma que, uma vez calculado, só precisamos normalizar o vetor!
c) Qual o valor máximo de ?
O valor máximo é simplesmente o módulo do gradiente !
Ou seja, vamos calcular o gradiente da função e com isso já teremos quase todas as respostas!
Passo 2
O gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais da função, nesse caso , e !
Assim, para encontrar
Analogamente, para temos
E por fim, para
Então o gradiente é dado por
Passo 3
A derivada direcional é dada
Realizando essa multiplicação escalar, temos
Ou ainda
Substituindo o ponto
Passo 4
b) varia mais intensamente na direção do gradiente! O nosso gradiente no ponto é dado por
E podemos ainda normalizar esse vetor para deixá-lo unitário:
Passo 5
c) A taxa máxima de variação de é simplesmente dada pelo módulo do gradiente!
Resposta
a)
b)
c)