Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicado pelo ângulo theta .

f(x, y) = e^x * cos(y), (0, 0), θ = pi/4

Passo 1

Oie, vamos de resolução?

O exercício pede para achar a derivada direcional de f no ponto dado e na direção determinada pelo ângulo θ .

A derivada direcional de f num ponto ( a ,   b ) em uma direção u → qualquer é dada por

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Neste caso,

u → = ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ )

Como θ = π / 4 :

u → = 2 2 , 2 2

E ∇ f é o vetor gradiente e é dado por:

∇ f = f x ,   f y

Passo 2

Tomando o gradiente de f :

f x , y = e x cos ⁡ y

Derivando em relação a x :

f x = e x ⋅ cos ⁡ y

Derivando em relação a y :

f y = - e x ⋅ sin ⁡ y

∇ f x ,   y = ( e x cos ⁡ y ,   - e x   s e n   y )

Assim, com a ,   b = ( 0 ,   0 ) :

∇ f 0 ,   0 = ( 1 ,   0 )

Desta forma,

D u f a ,   b = ∇ f a ,   b ⋅ u →

Substituindo:

D u f 0 ,   0 = 1 ,   0 ⋅ 2 2 , 2 2

Portanto, vamos realizar esse produto escalar para terminar a questão:

D u f 0,0 = 1 ⋅ 2 2 + 0 ⋅ 2 2

Terminamos com:

D u f 0 ,   0 = 2 2

Resposta

D u f 0 ,   0 = 2 2

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