Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta .

f(x, y) = x * sen(xy)

2,0

θ = π / 3

Passo 1

Oie, vamos partir para mais uma resolução hoje.

Nesta questão o objetivo é descobrir qual é a derivada direcional no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

Para isso, a gente utiliza a seguinte formula:

D u   f x , y =   f x x , y c o s θ + f y x , y s e n θ

Em que f x e f y são as derivadas parciais em relação a x e em relação a y , da nossa função. Elas são encontradas quando derivamos em relação a uma variável e consideramos todas as outras como constantes.

Então vamos começar achando as derivadas parciais da nossa função:

f x , y = x sin ⁡ x y

Passo 2

f x , y = x sin ⁡ x y

Para encontrar f x deveremos utilizar a regra do produto:

f ⋅ g = f ⋅ g ' + f ' ⋅ g

Então temos:

f x = s e n x y + x y c o s x y

E para f y deveremos aplicar a regra da cadeia:

f y = x 2 cos ⁡ x y

Passo 3

Como θ = π 3 , podemos substituir as equações encontradas na fórmula para o ponto pedido ( 2,0 ) :

D u   f x , y =   f x x , y c o s θ + f y x , y s e n θ

Substituindo:

D u f 2,0 = s e n 0 + 0 ⋅ 1 2 + 4 cos ⁡ 0 ⋅ 3 2

D u f 2,0 = 2 3

Resposta

2 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados