Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo theta .

f(x, y) = x * sen(xy)

2,0

θ = π / 3

Passo 1

Oie, vamos partir para mais uma resolução hoje.

Nesta questão o objetivo é descobrir qual é a derivada direcional no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ .

Para isso, a gente utiliza a seguinte formula:

D u   f x , y =   f x x , y c o s θ + f y x , y s e n θ

Em que f x e f y são as derivadas parciais em relação a x e em relação a y , da nossa função. Elas são encontradas quando derivamos em relação a uma variável e consideramos todas as outras como constantes.

Então vamos começar achando as derivadas parciais da nossa função:

f x , y = x sin ⁡ x y

Passo 2

f x , y = x sin ⁡ x y

Para encontrar f x deveremos utilizar a regra do produto:

f ⋅ g = f ⋅ g ' + f ' ⋅ g

Então temos:

f x = s e n x y + x y c o s x y

E para f y deveremos aplicar a regra da cadeia:

f y = x 2 cos ⁡ x y

Passo 3

Como θ = π 3 , podemos substituir as equações encontradas na fórmula para o ponto pedido ( 2,0 ) :

D u   f x , y =   f x x , y c o s θ + f y x , y s e n θ

Substituindo:

D u f 2,0 = s e n 0 + 0 ⋅ 1 2 + 4 cos ⁡ 0 ⋅ 3 2

D u f 2,0 = 2 3

Resposta

2 3

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7- Considerando a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y em P0 = (2, 2) . Determine:c)A direção na qual a taxa de variação f em P0 é máxima.
Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P0 na direção do vetor u, nos seguintes casos:4- f(x, y, z) = sen(xy) + cos(yz), P0 = (1,0, -1), u = (-1, 2, 2)
5- Sejam f x ,y = x 3 x 2 + y 2 , x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 ) e u = 1 ,1 . c)Justifique porque os valores encontrados em a) e b) são diferentes .
7- Considerando a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y em P0 = (2, 2) . Determine:a)A taxa de variação de f em P_0 na direção do vetor (1, 1).
9-Considerando as superfícies: S₁ de equação x^2 + y ~ 2 + (z - 2)^2 = 4, 2 ≤ z ≤ 4 , S₂ de equação z = 3 - (x^2 / 2) - (y^2 / 4), 4 ≤ x^2 + y^2 ≤ 12 e S₃ de equação z = -6 + raiz(3 * (x^2 + y^2)), x^