Determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo θ . f x , y = x sin ⁡ x y 2,0 θ = π 3

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.6 - Ex. 6

Determine a derivada direcional de no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .

Passo 1

Oie, vamos partir para mais uma resolução hoje.

Nesta questão o objetivo é descobrir qual é a derivada direcional no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo .

Para isso, a gente utiliza a seguinte formula:

Em que e são as derivadas parciais em relação a e em relação a , da nossa função. Elas são encontradas quando derivamos em relação a uma variável e consideramos todas as outras como constantes.

Então vamos começar achando as derivadas parciais da nossa função:

Passo 2

Para encontrar deveremos utilizar a regra do produto:

Então temos:

E para deveremos aplicar a regra da cadeia:

Passo 3

Como , podemos substituir as equações encontradas na fórmula para o ponto pedido :

Substituindo:

Resposta

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7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:c)A direção na qual a taxa de variação f em P 0 é máxima.

Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u , nos seguintes casos:4- f x ,y ,z = s e nx y + cos ⁡( y z ) , P 0 = 1,0 ,- 1 ,u = ( - 1 ,2 ,2 )

5- Sejam f x ,y = x 3 x 2 + y 2 , x ,y ≠ ( 0 ,0 ) 0 ,x ,y = ( 0 ,0 ) e u = 1 ,1 . c)Justifique porque os valores encontrados em a) e b) são diferentes .

7- Considerando a função f x ,y = x 2 + y 2 - 2 y em P 0 = ( 2 ,2 ) . Determine:a)A taxa de variação de f em P 0 na direção do vetor 1 ,1 .

9-Considerando as superfícies: S 1 de equação x 2 + y ~ 2 + z - 2 2 = 4 , 2 ≤ z ≤ 4 , S 2 de equação z = 3 - x 2 2 - y 2 4 , 4 ≤ x 2 + y 2 ≤ 12 e S 3 de equação z = - 6 + 3 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 12