7- Considerando a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y em P0 = (2, 2) . Determine:

a)A taxa de variação de f em P_0 na direção do vetor (1, 1).

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício temos que usar isso aqui:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Mas afinal, o que isso quer dizer ???

O produto escalar de ∇ f P 0 pelo vetor unitário na direção e sentido do vetor u , nos dá a nossa derivada direcional. Essa será a nossa taxa de variação.

Dito isso, podemos começar a questão!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais:

∂ f ∂ x 2 ,   2 = 2 x = 4

∂ f ∂ y 2 ,   2 = 2 y - 2 = 2  

Isso nos dá:

∇ f 2 ,   2 = ( 4 ,   2 )

Passo 3

Como o nosso vetor não é unitário temos que dividi-lo pela sua norma. Dessa forma,

u = ( 1 2 + 1 2 ) = 2

u u = 1 2 , 1 2

Pra finalizarmos,

∂ f ∂ u 2 ,   2 = 4 ,   2 × 1 2 , 1 2 = 6 2 = 3 2

Tranquilo, né ?!

Resposta

3 2

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