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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 4

Nos exercícios 1 a 4, encontre a derivada direcional no ponto P 0 na direção do vetor u ,   nos seguintes casos:

4- f x ,   y ,   z = s e n   x y + cos ⁡   ( y z ) ,             P 0 = 1,0 ,   - 1 ,               u = ( - 1 ,   2 ,   2 )

Passo 1

Galerinha, para resolver esse exercício temos que usar isso aqui:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 × u u

Mas afinal, o que isso quer dizer ???

O produto escalar de ∇ f P 0 pelo vetor unitário na direção e sentido do vetor u , nos dá a nossa derivada direcional. Dito isso, podemos começar a questão!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais em 1,1 :

∂ f ∂ x 1,0 ,   - 1 = y cos ⁡   x y = 0

∂ f ∂ y 1,0 ,   - 1 = x   c o s   x y - y   s e n   y z = 1

∂ f ∂ z 1,0 ,   - 1 = - y   s e n   ( y z ) = 0

Assim,

∇ f P 0 = ( 0 ,   1 ,   0 )

Passo 3

Como o nosso vetor não é unitário temos que dividi-lo pela sua norma. Dessa forma,

u = ( ( - 1 ) 2 + 2 2 + 2 2 ) = 3

u u = - 1 3 , 2 3 ,   2 3

Pra finalizarmos,

∂ f ∂ u P 0 = ( 0 ,   1 ,   0 ) × - 1 3 , 2 3 ,   2 3 = 2 3

Resposta

2 3

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