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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 64

Determine a derivada da função y = ( 1 + x ^2 ) e ^(t g ^(- 1) x)

Passo 1

Devemos inicialmente aplicar a regra da multiplicação, pois temos duas funções dependentes de x. Somado a isso, o segundo termo a direita da igualdade apresenta uma função composta trigonométrica:

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ( 1 + x ^2 ) * e ^(t g ^(- 1) x) + ( 1 + x ^2 ) * (d)/(d x) (e ^(t g ^(- 1) x))

Passo 2

Ao aplicarmos a derivada, o primeiro termo a direita da igualdade pode ser resolvido por uma derivada da potência. O segundo pode ser resolvido pela regra da cadeia:

(d y)/(d x) = 2 x * e ^(t g ^(- 1) x) + ( 1 + x ^2 ) * e ^(t g ^(- 1) x) * (d)/(d x) (t g ^(- 1) x) = 2 x * e ^(t g ^(- 1) x) + ( 1 + x ^2 ) * (1)/(( 1 + x ^2 )) e ^(t g ^(- 1) x)

Resposta

Simplificando os termos semelhantes, e deixando o termo exponencial em evidência, temos como resultado:

(d y)/(d x) = 2 x * e ^(t g ^(- 1) x) + e ^(t g ^(- 1) x)

(d y)/(d x) = ( 2 x + 1 ) e ^(t g ^(- 1) x)

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