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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.11 - Ex. 45

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = x senh^(- 1) ((x)/(3)) - sqrt(9 + x ²)

Passo 1

Primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:

y = x senh^(- 1) ((x)/(3)) - sqrt(9 + x ²) = x senh^(- 1) ((x)/(3)) - (9 + x ²)^((1)/(2))

Passo 2

Agora vamos analisar quais regras devemos usar para derivar essa expressão, vamos usar a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas além da regra da cadeia , do polinômio e da função constante:

(senh^(- 1) x) ' = (1)/(sqrt(1 + x^2))

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Passo 3

Vamos agora derivar!! Vamos usar a regra da subtração também:

y^' = (x senh^(- 1) ((x)/(3)) - (9 + x ²)^((1)/(2)))^' = (x senh^(- 1) ((x)/(3)))^' - ((9 + x ²)^((1)/(2))) '

Vamos derivar as duas partes separadas para ficar melhor de visualizar.

Passo 4

Aqui vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Assim:

(x senh^(- 1) ((x)/(3)))^' = (x)^' . senh^(- 1) ((x)/(3)) + (senh^(- 1) ((x)/(3)))^' . x = x^(1 - 1) . senh^(- 1) ((x)/(3)) + ((1)/(sqrt(1 + ((x)/(3))^2))) . ((x)/(3))^' . x = x^0 . senh^(- 1) ((x)/(3)) + ((1)/(sqrt(1 + ((x)/(3))^2))) . (1)/(3) x^(1 - 1) . x = senh^(- 1) ((x)/(3)) + (x)/(3 sqrt(1 + ((x)/(3))^2))

Passo 5

Vamos agora derivar o segundo termo:

((9 + x ²)^((1)/(2)))^' = (1)/(2) (9 + x ²)^((1)/(2) - 1) . (9 + x^2)^' = (1)/(2) (9 + x ²)^(- (1)/(2)) . (0 + 2 x^(2 - 1)) = (1)/(2) (9 + x ²)^(- (1)/(2)) . 2 x = (2 x)/(2 sqrt(9 + x ²)) = (x)/(sqrt(9 + x ²))

Passo 6

Agora é só substituir de volta:

y^' = (x tgh^(- 1) (x))^' + (ln ((1 - x^2)^((1)/(2))))^' = senh^(- 1) ((x)/(3)) + (x)/(3 sqrt(1 + ((x)/(3))^2)) - (x)/(sqrt(9 + x^2)) = senh^(- 1) ((x)/(3)) + (x)/(3 sqrt(1 + (x^2)/(9))) - (x)/(sqrt(9 + x^2)) = senh^(- 1) ((x)/(3)) + (x)/(3 sqrt((9 + x^2)/(9))) - (x)/(sqrt(9 + x^2)) = senh^(- 1) ((x)/(3)) + (x)/(3 ((sqrt(9 + x^2))/(sqrt(9)))) - (x)/(sqrt(9 + x^2)) = senh^(- 1) ((x)/(3)) + (x)/(3 ((sqrt(9 + x^2))/(3))) - (x)/(sqrt(9 + x^2)) = senh^(- 1) ((x)/(3)) + (x)/(sqrt(9 + x^2)) - (x)/(sqrt(9 + x^2)) = senh^(- 1) ((x)/(3))

Resposta

y^' = senh^(- 1) ((x)/(3))

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