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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 55

Determine a derivada da função y = s e n ^(- 1) sqrt(1 - u ^2)

Passo 1

A derivada da inversa da função seno é dada por:

(d)/(d t) s e n ^(- 1) x = (1)/(sqrt(1 - x ^2)) (d x)/(d t)

Passo 2

Usando essa relação:

(d y)/(d u) = (1)/(sqrt(1 - ( 1 - u ^2 ))) (d)/(d u) ( sqrt(1 - u ^2) ) = (1)/(sqrt(u ^2)) (d)/(d u) ( sqrt(1 - u ^2) ) = (1)/(u) (d)/(d u) ( sqrt(1 - u ^2) )

Passo 3

A outra derivada pode ser feita usando regra da cadeia. Derivamos a raiz e depois o que está dentro dela.

(d)/(d u) ( sqrt(1 - u ^2) ) = (1)/(2 sqrt(1 - u ^2)) (d)/(d u) ( 1 - u ^2 ) = (1)/(2 sqrt(1 - u ^2)) * ( - 2 u ) = - (u)/(sqrt(1 - u ^2))

Resposta

Então no final temos:

(d y)/(d u) = (1)/(u) * (- u)/(sqrt(1 - u ^2)) → (d y)/(d u) = - (1)/(sqrt(1 - u ^2))

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