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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 62

Determine a derivada da função y = 2 sqrt(x - 1) s e c ^(- 1) sqrt(x)

Passo 1

Devemos inicialmente aplicar a regra da multiplicação, pois temos duas funções dependentes de x:

(d y)/(d x) = 2 (d)/(d x) (sqrt(x - 1)) * s e c ^(- 1) sqrt(x) + 2 sqrt(x - 1 *) (d)/(d x) ( s e c ^(- 1) sqrt(x) )

Passo 2

Ao aplicarmos a derivada vemos duas funções compostas, a sqrt(x - 1) e s e c ^(- 1) sqrt(x) . Assim é necessário fazer a regra da cadeia em ambos os termos simultaneamente. Assim:

(d y)/(d x) = (2)/(2) ( x - 1 ) ^(1 // 2 - 1) * s e c ^(- 1) sqrt(x) + 2 sqrt(x - 1) * (1)/(| x | sqrt(x - 1)) (d)/(d x) (sqrt(x))

Passo 3

Aplicando a última derivada de forma que a radiciação sqrt(x) de lugar a forma de expoente fracionário x ^(- 1 // 2) . Assim ficaremos com:

(d y)/(d x) = (2)/(2) ( x - 1 ) ^(1 // 2 - 1) s e c ^(- 1) sqrt(x) + 2 sqrt(x - 1) (1)/(| x | sqrt(x - 1)) (1)/(2) x ^(1 // 2 - 1)

(d y)/(d x) = (2)/(2) ( x - 1 ) ^(- 1 // 2) s e c ^(- 1) sqrt(x) + 2 sqrt(x - 1) (1)/(| x | sqrt(x - 1)) (1)/(2) x ^(- 1 // 2)

Resposta

Simplificando os termos semelhantes, teremos como resultado :

(d y)/(d x) = (1)/(sqrt(( x - 1 ))) s e c ^(- 1) sqrt(x) + (1)/(x)

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