29- Seja y = y(x) definida e derivável num intervalo I e tal que, para todo x em I , dy/dx = x + sen(y).

a) Expresse (d^3 * y) / (d * x^3) em termos de x e de y.

b) Calcule (d^3 y) / (d^3 x) | x = 0 admitindo que y(0) = pi / 4 .

Passo 1

a)Comecemos encontrando a derivada de 2.a ordem. Por hipótese, y é uma função definida, derivável e d y d x = x + s e n y . Portanto,  

d 2 y d x 2 = 1 + c o s ⁡ ( y ) y '

Agora, derivemos mais vez. Pela regra da cadeia, teremos:

d 3 y d x 3 = - s e n y y ' y ' + y " c o s ⁡ ( y )

Substituindo d y d x por x + s e n y e d 2 y d x 2 por 1 + c o s ⁡ ( y ) y '   na equação anterior, obtemos:

d 3 y d x 3 =   - s e n y x + s e n y x + s e n y + cos ⁡ y + cos 2 ⁡ y ( x + s e n y )

Organizando e agrupando os termos iguais, segue que

d 3 y d x 3 = - x s e n y - s e n 2 y + cos 2 ⁡ y x + s e n y +   c o s ⁡ ( y )

Passo 2

b)Vamos substituir os valores dados no enunciado na equação encontrada no item anterior.

y 0 = π 4

Ou seja, para x = 0   e y = π 4 , temos:

d 3 y d x 3 | x = 0 = 0 - 2 4 + 2 4 0 + 2 2 + 2 2 = 2 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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