31- Sejam f: R → R derivável até a 2.a ordem e h dada por h(x) = f(f(x)) . Verifique que, para todo x, h''(x) = f''(f(x)) * (f'(x))^2 + f'(f(x)) * f''(x) .

Passo 1

Vamos começar encontrando d h x d x . Mas h x = f f x por hipótese. Portanto, pela regra da cadeia, teremos:

h ' x = f ' f x . f ' ( x )

Passo 2

Derivando mais uma vez pela regra do produto e pela regra da cadeia, obtemos:

h " ( x ) = f " (f(x))f '(x)f '(x)+ f " ( x )   f '   ( f ( x ) )

h " ( x ) = f " f x f ' x 2 +   f ' f x f "   ( x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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