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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 23

Calcule (phi (phi (x)))^' .

  1. phi (x) = sen x
  2. phi (x) = (1)/(x)
  3. phi (x) = ln (x^2 + 1)
  4. phi (x) = e^(x^2)

Passo 1

Vamos calcular a derivada, mas primeiro temos que aplicar a função que é pedida, vamos lá:

  1. (phi (phi (x)))^' = (sen (sen x))^'

    2. Para calcular essa derivada vamos usar a regra da cadeia, fazendo a derivada da mais de dentro até a mais de fora:

    (sen (sen x))^' = cos (sen x) (sen x)^' = cos (sen x) cos x

    Passo 2

  2. (phi (phi (x)))^' = ((1)/((1)/(x)))^' = (x)^'

    3. Para calcular essa derivada vamos usar a regra do polinômio:

    (x)^' = 1 * x^(1 - 1) = x^0 = 1

    Passo 3

  3. (phi (phi (x)))^' = (ln ((ln (x^2 + 1))^2 + 1))^'

    4. Para calcular essa derivada vamos usar a regra da cadeia, fazendo a derivada da mais de dentro até a mais de fora:

    (ln ((ln (x^2 + 1))^2 + 1))^' = (1)/((ln (x^2 + 1))^2 + 1) * ((ln (x^2 + 1))^2 + 1)^' = (1)/((ln (x^2 + 1))^2 + 1) * (2 (ln (x^2 + 1))^(2 - 1) (x^2 + 1)^' + 0) = (1)/((ln (x^2 + 1))^2 + 1) * (2 (ln (x^2 + 1)) (2 x + 0)) = (4 x (ln (x^2 + 1)))/((ln (x^2 + 1))^2 + 1)

    Passo 4

  4. (phi (phi (x)))^' = (e^((e^(x^2))^2))^'

Para calcular essa derivada vamos usar a regra da cadeia, fazendo a derivada da mais de dentro até a mais de fora:

(e^((e^(x^2))^2))^' = e^((e^(x^2))^2) ((e^(x^2))^2)^' = e^((e^(x^2))^2) 2 (e^(x^2))^(2 - 1) (e^(x^2))^' = e^((e^(x^2))^2) 2 e^(x^2) e^(x^2) (x^2)^' = e^((e^(x^2))^2) 2 e^(x^2) e^(x^2) 2 x = 4 x e^(2 x^2) e^((e^(x^2))^2) = 4 x e^(2 x^2 + (e^(x^2))^2)

Resposta

  1. (sen (sen x))^' = cos (sen x) cos x
  2. (x) = 1
  3. (ln ((ln (x^2 + 1))^2 + 1))^' = (4 x (ln (x^2 + 1)))/((ln (x^2 + 1))^2 + 1)
  4. (e^((e^(x^2))^2))^' = 4 x e^(2 x^2 + (e^(x^2))^2)
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