Calcule (φ(φ(x)))' .

  1. phi(x) = sen(x)
  2. φ(x) = 1 / x
  3. phi(x) = ln(x^2 + 1)
  4. phi(x) = e^(x^2)

Passo 1

Vamos calcular a derivada, mas primeiro temos que aplicar a função que é pedida, vamos lá:

  1. φ φ x ' = sen ⁡ sen ⁡ x '
  2. Para calcular essa derivada vamos usar a regra da cadeia, fazendo a derivada da mais de dentro até a mais de fora:

    sen ⁡ sen ⁡ x ' = cos ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ x ' = cos ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x

    Passo 2

  3. φ φ x ' = 1 1 x ' = x '
  4. Para calcular essa derivada vamos usar a regra do polinômio:

    x ' = 1 ⋅ x 1 - 1 = x 0 = 1

    Passo 3

  5. φ φ x ' = ln ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1 '
  6. Para calcular essa derivada vamos usar a regra da cadeia, fazendo a derivada da mais de dentro até a mais de fora:

    ln ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1 ' = 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1 ⋅ ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1 ' =   1 ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1 ⋅ 2 ln ⁡ x 2 + 1 2 - 1 x 2 + 1 ' + 0 = 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1 ⋅ 2 ln ⁡ x 2 + 1 2 x + 0 = 4 x ln ⁡ x 2 + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1

    Passo 4

  7. φ φ x ' = e e x 2 2 '

Para calcular essa derivada vamos usar a regra da cadeia, fazendo a derivada da mais de dentro até a mais de fora:

e e x 2 2 ' = e e x 2 2 e x 2 2 ' = e e x 2 2 2 e x 2 2 - 1 e x 2 ' = e e x 2 2 2 e x 2 e x 2 x 2 ' = e e x 2 2 2 e x 2 e x 2 2 x = 4 x e 2 x 2 e e x 2 2 = 4 x e 2 x 2 + e x 2 2

Resposta

  1. sen ⁡ sen ⁡ x ' = cos ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ x
  2. x = 1
  3. ln ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1 ' = 4 x ln ⁡ x 2 + 1 ln ⁡ x 2 + 1 2 + 1
  4. e e x 2 2 ' = 4 x e 2 x 2 + e x 2 2
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