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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 86

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y   =   3 log 8 ⁡ log 2 ⁡ x

Passo 1

Bom, vamos derivar em ambos os lados da equação:

d y d x = 3   d d x log 8 ⁡ log 2 ⁡ x

Vamos utilizar a seguinte propriedade de logaritmos:

log a ⁡ b = ln ⁡ b ln ⁡ a

Assim, teremos:

d y d x = 3   d d x ln ⁡ log 2 ⁡ x ln ⁡ 8

d y d x =   3 ln ⁡ 8 d d x ln ⁡ log 2 ⁡ x

Passo 2

Para derivar o termo ln ⁡ log 2 ⁡ x . Vamos utilizar a regra da cadeia:

d f ( u ) d x =   d f d u . d u d x

Considere f = ln ⁡ u   e u =   log 2 ⁡ x

d f d u =   1 u

d u d x =   1 x ln ⁡ 2

Passo 3

Agora, fazemos a substituições, ok?

d y d x =   3 ln ⁡ 8 .   1 u .   1 x ln ⁡ 2

d y d x =   3 ln ⁡ 8 .   1 log 2 ⁡ x .   1 x ln ⁡ 2

d y d x =   3 ln ⁡ 2 3 ln ⁡ x ln ⁡ 2 .   x   ln ⁡ 2 ln ⁡ e

d y d x =   3 3 ln ⁡ 2   x ln ⁡ x ln ⁡ e

Observe que ln ⁡ e = 1   pois log a ⁡ a = 1

d y d x =   1 x ln ⁡ 2 ln ⁡ x

Resposta

d y d x =   1 x ln ⁡ 2 ln ⁡ x

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