Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 16
16- Com relação ao exercício anterior, supondo , expresse em termos de
Passo 1
Inicialmente, notemos que, pela hipótese de que , temos necessariamente que .
Além disso, utilizaremos uma das consequências da desigualdade triangular que afirma que o maior lado é oposto ao maior ângulo.
Assim, chamamos de x o lado oposto ao ângulo .
Pela lei dos cossenos, segue que:
Portanto, temos que
Pela lei dos senos, temos:
Assim, tem-se que .
Passo 2
Agora que encontramos , precisamos encontrar e para isso faremos uso teorema fundamental da trigonometria:
Substituindo :
Dessa forma, temos que .
Passo 3
Fazendo uso do corolário da desigualdade triangular mencionado, temos que
Resolvendo a inequação, temos:
Separamos agora em dois casos, e estudaremos cada um separadamente:
Note que no primeiro caso, temos que o valor do módulo , enquanto no segundo caso temos .
Passo 4
Analisaremos agora o primeiro dos casos.
Da questão anterior, relembramos da expressão que relacionava os ângulos com suas variações:
Assim, substituiremos o valor de em cada um dos casos e isolaremos
Quando , temos que
Portanto, temos:
Passo 5
Analisaremos agora o segundo caso.
Desenvolvendo:
Como temos o seguinte:
Resposta
Portanto, temos duas respostas:
- Se , temos
- Se , temos