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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 17

17- Considere as funções dadas por y = a x 2 e y = - x 2 + 1 . Determine a para que os gráficos se interceptem ortogonalmente. (Os gráficos interceptam ortogonalmente em ( x 0 , y 0 ) se as retas tangentes aos gráficos, neste ponto, forem perpendiculares)

Passo 1

Inicialmente, vamos calcular as derivadas das funções:

y 1 ' = 2 a x   e   y 2 ' = - 2 x

Passo 2

Queremos agora, encontrar os pontos de interseção dos gráficos:

a x 2 = - x 2 + 1  

a + 1 x 2 = 1

x = ± 1 a + 1

Note, portanto, que é necessário que a > - 1 .

Substituímos agora o valor de x na função em que o a se encontra.

x = 1 a + 1   ⇔ y = a a + 1

x = - 1 a + 1   ⇔ y = a a + 1

Passo 3

Agora que encontramos os pontos de interseção dos gráficos, é necessário que as retas tangentes aos gráficos nesses pontos sejam perpendiculares, ou seja, o produto dos coeficientes angulares das retas tangentes precisa ser igual a -1.

Dito isto:

y 1 ' . y 2 ' = - 1

Logo, temos:

- 4 a x 2 = - 1

Note que em ambos os pontos de interseção de x, temos que x 2 = 1 a + 1

Assim:

- 4 a a + 1 = - 1

4 a = a + 1

Resposta

a = 1 3

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