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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 19

19 - Mostre que, para todo a , as curvas y = a x 2 e x 2 + 2 y 2 = 1 se interceptam ortogonalmente.

Passo 1

Inicialmente, para facilitar notação, chamemos a primeira curva de C 1 e a segunda de C 2 .

Agora, derivamos implicitamente ambas as curvas em relação a x:

C 1 :       d y d x = 2 a x

C 2 :           2 x + 4 y . d y d x = 0 ⇔ d y d x = - x 2 y

Passo 2

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção das curvas:

a x 2 - y = x 2 + 2 y 2 - 1

Isolaremos o a :

a = x 2 + 2 y 2 + y - 1 x 2

Passo 3

Para que tenhamos duas curvas se interceptando ortogonalmente, é necessário que, nos pontos de interseção, as retas tangentes tenham coeficientes angulares cujo produto seja igual a -1.

Sendo assim:

y 1 ' . y 2 ' = - 1

2 a x . - x 2 y = - 1

a x 2 y = 1

Logo, temos que y = a x 2

Note que essa é a equação da C 1 e, portanto, para todo valor de a , temos que as curvas se interceptam ortogonalmente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a derivada da função y = 2 x - 1s e c - 1 x
Determine a derivada da função y = ( x + 2 ) x + 2
Determine d y / d x por derivação implícita x y + 2 x + 3 y = 1
Determine a derivada da função y = zs e c - 1 z - z 2 - 1
Determine a derivada da função y = 2 e - x + e 3 x