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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 24

24- De exemplos de funções ɸ que satisfazem a condição ɸ ’   ( ɸ   (   x   )   )   =   ( ɸ   ( ɸ   (   x   )   )   ) ’ , para todo x no domínio de ɸ .

Passo 1

Vamos começar pensando no exemplo trivial   ɸ x = x . Portanto, temos que   ɸ   ɸ     x   = ɸ x = x . Logo, ɸ   ɸ     x   ' = 1 e ɸ ’   ( x ) = x ' = 1 .

E se somarmos uma constante a   ɸ x , será que a igualdade ainda vale? Vamos ver!!!   ɸ x = x + c . . Portanto, temos que   ɸ   ɸ     x   = ɸ x + c = x + c + c = x + 2 c . Logo , ɸ   ɸ     x   ' = x + 2 c ' = 1 e ɸ ’   x = x + c ' = 1

Agora, tome   ɸ x = c ,   onde   c é uma constante. Assim, temos   ɸ   ɸ     x   = c , logo ɸ   ɸ     x   ' = c ' = 0   e ɸ ’   x = c ' = 0

Um exemplo um pouco mais complicado seria ɸ x = { - 1 , x < 0 x ,   x > 0 . Neste caso, o domínio de ɸ é R - 0 e ɸ ’   ( x ) = { 0 , x < 0 1 ,   x > 0 . Para x > 0 , temos ɸ   ɸ     x   ' = ɸ ’   x = 1 = ɸ ’   x . Para x < 0 , temos   ɸ   ɸ     x   ' = ɸ ’   - 1 = 0 = ɸ ’   x .

De maneira geral, se   ɸ ’   ɸ     x   =   ɸ   ɸ     x   ’ , teremos ɸ ’   ɸ     x   =   ɸ ’   ɸ     x   . ɸ ’   x . Logo, ɸ ’   ɸ     x   - ɸ ’   ɸ     x   . ɸ ’   x = 0   e, portanto,   ɸ ’   ɸ     x   1 - ɸ ’   x = 0 . Com isso, precisamos ter ɸ ’   ɸ     x   = 0 ou ɸ ’   x = 1 para todo x no domínio de   ɸ .

Resposta

ɸ x = x

ɸ x = x + c

ɸ x = c

ɸ x = { - 1 , x < 0 x ,   x > 0

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