27- Seja f: R → R derivável até a 2.a ordem e seja h dada por h (t) = f ( cos(3t) ).

  1. Expresse h”(t) em termos de t, f'(c * cos(3t)) e de f''(cos(3t)) .
  2. Calcule h” (π / 9) admitindo que f' (1/2) = 4 e f''(1/2) = 3

Passo 1

a)Comecemos encontrando a derivada de 1.a ordem.

h ’ ( t ) = f ' c o s 3 t . - s e n 3 t . 3

h ' t = - 3 f ' c o s 3 t ( s e n 3 t )

(Lembre-se de que f é uma função derivável como está descrito no enunciado, portanto, também aplicamos a regra da cadeia nela).

Agora, derivando mais uma vez pela regra do produto, teremos:

h " (t) = -3(f " ( c o s 3 t ) 3 ( - s e n 3 t ) ( s e n 3 t ) + 3 ( c o s 3 t ) f ' ( c o s 3 t ) )

h " (t)= 9( s e n 2 3t) f" c o s 3 t - 9 c o s 3 t f ' ( c o s 3 t )

(Lembre-se de que f é uma derivável como está descrito no enunciado, portanto, também aplicamos a regra da cadeia nela).

Passo 2

b)Para calcular h” π 9 ,   vamos substituir os dados do enunciado na equação encontrada no item anterior. Ou seja,

h " π 9 = 9( s e n 2 3 π 9 ) f" 1 2 - 9 c o s 3 π 9 f ' 1 2

h " π 9 = 9.3. 3 2 2 -   9 . 1 2 . 3

h " π 9 =  81 4 -   27 2

h " π 9 =  27 4

Resposta

  1. h " (t)= 9( s e n 2 3t) f" c o s 3 t - 9 c o s 3 t f ' ( c o s 3 t )
  2. h " π 9 =  27 4
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