Calcule a derivada segunda.

y = e^x / (x + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da função exponencial, da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y ' :

e f x ' = e f x ⋅ f ( x ) '

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = e x

e

g x = x + 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y ' = e x x + 1 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = e x ' x + 1 - e x x + 1 ' x + 1 2 = e x x ' x + 1 - e x x 1 - 1 + 0 x + 1 2 = e x x 1 - 1 x + 1 - e x x 0 x + 1 2 = e x x 0 x + 1 - e x 1 x + 1 2 = e x 1 x + 1 - e x x + 1 2 = e x x + 1 - 1 x + 1 2 = x e x x + 1 2

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora y ' :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = x e x

e

g x = x + 1 2

Assim:

y ' ' = y ' ' = x e x x + 1 2 ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2 = x e x ' x + 1 2 - x e x x + 1 2 ' x + 1 2 2

Vamos resolver as duas separadamente, para ficar melhor de entender.

Passo 4

Vamos ter que usar mais de uma regra para calcular f ' x , a do produto:

h x g x ' = h ' x g x + g ' x h x

Aplicando ficamos com:

f ' x = x e x ' = x ' e x + e x ' x = x 1 - 1 ⋅ e x + x e x x ' = x 0 ⋅ e x + x e x ⋅ x 1 - 1 = 1 ⋅ e x + x e x ⋅ x 0 = e x + x e x ⋅ 1 = e x + x e x = e x 1 + x

E agora com g ' x :

g ' x = x + 1 2 ' = 2 x + 1 2 - 1 x + 1 ' = 2 x + 1 x 1 - 1 + 0 = 2 x + 2 x 0 = 2 x + 2 1 = 2 x + 2

Passo 5

Pronto, agora é só aplicar de volta:

y ' ' = x e x x + 1 2 ' = x e x ' x + 1 2 - x e x x + 1 2 ' x + 1 2 2 = e x 1 + x x + 1 2 - x e x 2 x + 2 x + 1 4 = e x + x e x x + 1 2 - x e x 2 x + 1 x + 1 4 = e x + x e x x + 1 - x e x 2 x + 1 3 = e x x + e x + x 2 e x + x e x - 2 x e x x + 1 3 = e x + x 2 e x x + 1 3

Resposta

y ' ' = e x + x 2 e x x + 1 3

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