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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5f

Calcule a derivada segunda.

y = (e^x)/(x + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da função exponencial, da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = e^x

e

g (x) = x + 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = ((e^x)/(x + 1))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((e^x)^' (x + 1) - (e^x) (x + 1)^')/((x + 1)^2) = (e^x (x)^' (x + 1) - (e^x) (x^(1 - 1) + 0))/((x + 1)^2) = (e^x (x^(1 - 1)) (x + 1) - (e^x) (x^0))/((x + 1)^2) = (e^x (x^0) (x + 1) - (e^x) (1))/((x + 1)^2) = (e^x (1) (x + 1) - e^x)/((x + 1)^2) = (e^x (x + 1 - 1))/((x + 1)^2) = (x e^x)/((x + 1)^2)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regra, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x e^x

e

g (x) = (x + 1)^2

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((x e^x)/((x + 1)^2))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((x e^x)^' (x + 1)^2 - (x e^x) ((x + 1)^2)^')/([(x + 1)^2]^2)

Vamos resolver as duas separadamente, para ficar melhor de entender.

Passo 4

Vamos ter que usar mais de uma regra para calcular f^' (x) , a do produto:

(h (x) g (x))^' = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x)

Aplicando ficamos com:

f^' (x) = (x e^x)^' = (x)^' (e^x) + (e^x)^' (x) = x^(1 - 1) * (e^x) + x e^x (x)^' = x^0 * (e^x) + x e^x * x^(1 - 1) = 1 * (e^x) + x e^x * x^0 = e^x + x e^x * 1 = e^x + x e^x = e^x (1 + x)

E agora com g^' (x) :

g^' (x) = ((x + 1)^2)^' = 2 (x + 1)^(2 - 1) (x + 1)^' = 2 (x + 1) (x^(1 - 1) + 0) = (2 x + 2) (x^0) = (2 x + 2) (1) = 2 x + 2

Passo 5

Pronto, agora é só aplicar de volta:

y^(' ') = ((x e^x)/((x + 1)^2))^' = ((x e^x)^' (x + 1)^2 - (x e^x) ((x + 1)^2)^')/([(x + 1)^2]^2) = (e^x (1 + x) (x + 1)^2 - (x e^x) (2 x + 2))/((x + 1)^4) = ((e^x + x e^x) (x + 1)^2 - (x e^x) 2 (x + 1))/((x + 1)^4) = ((e^x + x e^x) (x + 1) - (x e^x) 2)/((x + 1)^3) = (e^x x + e^x + x^2 e^x + x e^x - 2 x e^x)/((x + 1)^3) = (e^x + x^2 e^x)/((x + 1)^3)

Resposta

y^(' ') = (e^x + x^2 e^x)/((x + 1)^3)

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