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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5s

Calcule a derivada segunda.

y = (x^2)/(x^2 + x + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x^2

e

g (x) = x^2 + x + 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = ((x^2)/(x^2 + x + 1))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((x^2)^' (x^2 + x + 1) - (x^2) (x^2 + x + 1)^')/((x^2 + x + 1)^2) = ((2 x^(2 - 1)) (x^2 + x + 1) - (x^2) (2 x^(2 - 1) + x^(1 - 1) + 0))/((x^2 + x + 1)^2) = (2 x (x^2 + x + 1) - (x^2) (2 x + x^0))/((x^2 + x + 1)^2) = (2 x^3 + 2 x^2 + 2 x - (x^2) (2 x + 1))/((x^2 + x + 1)^2) = (2 x^3 + 2 x^2 + 2 x - 2 x^3 - x^2)/((x^2 + x + 1)^2) = (x^2 + 2 x)/((x^2 + x + 1)^2)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x^2 + 2 x

e

g (x) = (x^2 + x + 1)^2

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((x^2 + 2 x)/((x^2 + x + 1)^2))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((x^2 + 2 x)^' (x^2 + x + 1)^2 - (x^2 + 2 x) ((x^2 + x + 1)^2)^')/(((x^2 + x + 1)^2)^2) = ((2 x^(2 - 1) + 2 x^(1 - 1)) (x^2 + x + 1)^2 - (x^2 + 2 x) 2 (x^2 + x + 1)^(2 - 1) (x^2 + x + 1)^')/((x^2 + x + 1)^4) = ((2 x + 2 x^0) (x^2 + x + 1)^2 - (2 x^2 + 4 x) (x^2 + x + 1) (2 x^(2 - 1) + x^(1 - 1) + 0))/((x^2 + x + 1)^4) = ((2 x + 2 * 1) (x^2 + x + 1) - (2 x^2 + 4 x) (2 x + x^0))/((x^2 + x + 1)^3) = ((2 x + 2) (x^2 + x + 1) - (2 x^2 + 4 x) (2 x + 1))/((x^2 + x + 1)^3) = (2 x^3 + 2 x^2 + 2 x + 2 x^2 + 2 x + 2 - 4 x^3 - 2 x^2 - 8 x^2 - 4 x)/((x^2 + x + 1)^3) = (- 2 x^3 - 6 x^2 + 2)/((x^2 + x + 1)^3)

Resposta

y^(' ') = (- 2 x^3 - 6 x^2 + 2)/((x^2 + x + 1)^3)

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