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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5r

Calcule a derivada segunda.

y = x e^((1)/(x))

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função exponencial, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = e^((1)/(x))

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (x e^((1)/(x)))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = (x)^' (e^((1)/(x))) + (e^((1)/(x)))^' (x) = (x^(1 - 1)) (e^((1)/(x))) + e^((1)/(x)) ((1)/(x))^' (x) = (x^0) (e^((1)/(x))) + x e^((1)/(x)) (- x^(- 1 - 1)) = (1) (e^((1)/(x))) + x e^((1)/(x)) (- x^(- 2)) = e^((1)/(x)) + x e^((1)/(x)) (- (1)/(x^2)) = e^((1)/(x)) - (e^((1)/(x)))/(x)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, mas agora com a regra da divisão, derivando agora y^' :

y^(' ') = (y^')^' = (e^((1)/(x)) - (e^((1)/(x)))/(x))^' = (e^((1)/(x))) - ((e^((1)/(x)))/(x))^'

Na regra da divisão temos:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = e^((1)/(x))

e

g (x) = x

Assim:

y^(' ') = (e^((1)/(x))) - ((e^((1)/(x)))/(x))^' = e^((1)/(x)) ((1)/(x))^' - (((e^((1)/(x)))^' (x) - (e^((1)/(x))) (x)^')/([x]^2)) = e^((1)/(x)) (- x^(- 1 - 1)) - ((e^((1)/(x)) ((1)/(x))^' (x) - (e^((1)/(x))) (x^(1 - 1)))/(x^2)) = e^((1)/(x)) (- x^(- 2)) - ((x e^((1)/(x)) (- x^(- 1 - 1)) - (e^((1)/(x))) (x^0))/(x^2)) = (- e^((1)/(x)))/(x^2) - ((x e^((1)/(x)) (- (1)/(x^2)) - e^((1)/(x)))/(x^2)) = (- e^((1)/(x)))/(x^2) - ((- (e^((1)/(x)))/(x) - e^((1)/(x)))/(x^2)) = (- e^((1)/(x)))/(x^2) + ((e^((1)/(x)))/(x) + e^((1)/(x)))/(x^2) = (- e^((1)/(x)) + (e^((1)/(x)))/(x) + e^((1)/(x)))/(x^2) = ((e^((1)/(x)))/(x))/(x^2) = (e^((1)/(x)))/(x) * (1)/(x^2) = (e^((1)/(x)))/(x^3)

Resposta

y^(' ') = (e^((1)/(x)))/(x^3)

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