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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 4t

Derive.

f (x) = (cos x)/(sen^2 x)

Passo 1

Aqui de cara dá pra ver que vamos usar a regra da divisão:

f^' (x) = (g^' (x) h (x) - g (x) h ' (x))/([h (x)]^2)

Onde:

g (x) = cos x

e

h (x) = sen^2 x

Assim temos então que:

((cos x)/(sen^2 x))^' = (g^' (x) h (x) - g (x) h ' (x))/([h (x)]^2) = ((cos x)^' (sen^2 x) - (cos x) (sen^2 x)^')/([sen^2 x]^2)

Passo 2

Vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, além da regra da cadeia:

(sen (x))^' = cos (x)

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

y^' = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 3

Primeiro vamos calcular g^' (x) :

g^' (x) = (cos x)^' = - sen x

Agora para h^' (x) :

h^' (x) = (sen^2 x)^' = 2 sen^(2 - 1) x * (sen x)^' = 2 sen x * cos x = 2 sen x cos x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

f^' (x) = ((cos x)/(sen^2 x))^' = ((cos x)^' (sen^2 x) - (cos x) (sen^2 x)^')/([sen^2 x]^2) = (- sen x (sen^2 x) - (cos x) (2 sen x cos x))/(sen^4 x) = (- sen^2 x - 2 cos^2 x)/(sen^3 x)

Resposta

f^' (x) = (- sen^2 x - 2 cos^2 x)/(sen^3 x)

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