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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 5l

Calcule a derivada segunda.

y = (x)/(x^2 + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, vamos ter então que usar a fórmula da derivada de polinômio e da função constante, além da regra da cadeia para achar y^' :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

f^' (x) = f^' (g (x)) * g ' (x)

Passo 2

E vamos ter que aplicar a regra da divisão:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = x^2 + 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = ((x)/(x^2 + 1))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((x)^' (x^2 + 1) - (x) (x^2 + 1)^')/((x^2 + 1)^2) = (x^(1 - 1) (x^2 + 1) - (x) (2 x^(2 - 1) + 0))/((x^2 + 1)^2) = (x^0 (x^2 + 1) - (x) (2 x))/((x^2 + 1)^2) = (1 * (x^2 + 1) - 2 x^2)/((x^2 + 1)^2) = (x^2 + 1 - 2 x^2)/((x^2 + 1)^2) = (- x^2 + 1)/((x^2 + 1)^2)

Passo 3

Para calcular a segunda derivada vamos usar as mesmas regras, derivando agora y^' :

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (x) = - x^2 + 1

e

g (x) = (x^2 + 1)^2

Assim:

y^(' ') = (y^')^' = ((- x^2 + 1)/((x^2 + 1)^2))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((- x^2 + 1)^' (x^2 + 1)^2 - (- x^2 + 1) ((x^2 + 1)^2)^')/(((x^2 + 1)^2)^2) = ((- 2 x^(2 - 1) + 0) (x^2 + 1)^2 - (- x^2 + 1) 2 (x^2 + 1)^(2 - 1) (x^2 + 1)^')/((x^2 + 1)^4) = ((- 2 x) (x^2 + 1)^2 - 2 (- x^2 + 1) (x^2 + 1) (2 x^(2 - 1) + 0))/((x^2 + 1)^4) = ((- 2 x) (x^2 + 1) - 2 (- x^2 + 1) (2 x))/((x^2 + 1)^3) = (- 2 x^3 - 2 x + 4 x^3 - 4 x)/((x^2 + 1)^3) = (2 x^3 - 6 x)/((x^2 + 1)^3)

Resposta

y^(' ') = (2 x^3 - 6 x)/((x^2 + 1)^3)

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Ache a derivada da função dada.g (x) = root(3)((3 x^2 + 5 x - 1)^2)
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Calcule a derivada indicada.(d)/(d x) (sqrt(x^2 - 5) * root(3)(x^2 + 3))
Calcule a derivada indicada.D_x (sqrt(x) tan sqrt((1)/(x)))