Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função

f(x, y) = raiz(x) * ln(y)

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo? A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f x , y = x ln ⁡ y .

Para ser preciso e direto;

  • Ela solicita d z d x , que é a derivada parcial de f em relação a x
  • Ela também pede d z d y , que é derivada parcial de f em relação a y .

Para isso, a função pede a regra da potência, pois a função é um polinômio.

d a n d a = n ∙ a n - 1

Vamos resolver!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada em relação a x .

d f d x x ln ⁡ y

Esta função é um produto, perceba que apenas um termo tem dependência em x , isso indica que o termo que não for, será considerado uma constante. Assim vamos derivar apenas a parte dependente.

ln ⁡ y   d f d x x

Derivando

d f d x x = x = x 1 2

Utilizando a regra da potência.

d f d x x = 1 2 ∙ x 1 2 - 1

d f d x x = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Com a parte constante, temos

d f d x = ln ⁡ y 2 x

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada em relação a y .

d f d y x ln ⁡ y

Esta função é um produto, perceba que apenas um termo tem dependência em y , isso indica que o termo que não for, será considerado uma constante. Assim vamos derivar apenas a parte dependente.

x   d f d y ln ⁡ y

Derivando

d f d y = 1 y

Com a parte constante, temos

d f d y = x y

Resposta

f x = l n y 2 x

f y =   x y

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