4. Seja g(x, y) = ∅ ( x / y ) a função do exercício anterior. Verifique que

x ∂g/∂x (x, y) + y ∂g/∂y (x, y) = 0

Para todo (x, y) ∈ R^2 com y≠0.

Passo 1

As derivadas parciais são nada mais nada menos do que derivar primeiro em x e considerar y como constante e depois derivar y e considerar x como constante.

Então, para a nossa questão, vamos derivar em x,

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x ∅ x y = ∅ ' 1 y

Agora vamos derivar em y,

∂ g ∂ x = ∂ ∂ y ∅ x y = ∅ ' - x y 2

Passo 2

Agora, vamos verificar,

x ∂ g ∂ x x , y + y ∂ g ∂ y x , y = 0

x ⋅ ∅ ' 1 y + y ⋅ ∅ ' - x y 2 =

∅ ' x ⋅ 1 y - y ⋅ x y 2 =

∅ ' x y - x y =

∅ ' x y - ∅ ' x y = 0

Resposta

Verificado.

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