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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 47

Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

f x , y = x 4 - 3 x 2 y 3

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa!

O objetivo da questão é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função

f x , y = x 4 - 3 x 2 y 3

Para resolver, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem f x ​ e f y , que representam as taxas de variação de f em relação a x e y , respectivamente. Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem f x x , f x y ​, f y y e f y x que indicam como as taxas de variação das derivadas parciais de primeira ordem mudam em relação a cada variável.

Vamos começar a calcular!

Passo 2

Existem três derivadas parciais de segunda ordem e que são iguais a:

f x x , f y y , f x y

Lembrando que f x y = f y x

Começando pela primeira derivada em relação a x da função teremos:

f x = ∂ x 4 - 3 x 2 y 3 ∂ x

Derivando os termos separadamente

f x = ∂ x 4 ∂ x - 3 y 3 ∂ x 2 ∂ x

temos

f x = 4 x 3 - 6 x y 3

Passo 3

Agora para a segunda derivada ( f x x ), f x em relação a x :

f x x = ∂ 4 x 3 - 6 x y 3 ∂ x

Derivando os termos separadamente

f x x = 4 ∂ x 3 ∂ x - 6 y 3 ∂ x ∂ x

Temos

f x x = 12 x 2 - 6 y 3

Agora para a segunda derivada ( f x y ) , f x em relação a y :

f x y = ∂ 4 x 3 - 6 x y 3 ∂ y

Derivando os termos separadamente

f x y = ∂ 4 x 3 ∂ y - 6 x ∂ y 3 ∂ y

Temos

f x y = 0 - 18 x y 2

Passo 4

Agora vamos fazer a derivada primeira em relação a y :

f y = ∂ x 4 - 3 x 2 y 3 ∂ y

Derivando os termos separadamente

f y = ∂ x 4 ∂ y - 3 x 2 ∂ y 3 ∂ y

f y = - 9 y 2 x 2

Passo 5

Agora para a segunda derivada ( f y y ) , f x em relação a y :

f y y = ∂ - 9 y 2 x 2 ∂ y

f y y = - 9 x 2 ∂ y 2 ∂ y

f y y = - 18 x 2 y

Se fizermos a derivada em relação a x de f y nós devemos encontrar o mesmo resultado de f x y , então só para confirmar.

f y x = ∂ - 9 y 2 x 2 ∂ x = - 9 y 2 ∂ x 2 ∂ x = - 18 y 2 x = f x y

Então tudo que fizemos está certinho!

Resposta

f x x = 12 x 2 - 6 y 3

f x y = f y x = - 18 x y 2

f y y = - 18 x 2 y

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Se z = f ( x , y ) tem derivadas parciais de 2 ª ª ordem contínuas e satisfaz a equação ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas.d) z
Encontrar:(del^2 vec f)/(del x ²) , (del^2 vec f)/(del y ²) , (del^2 vec f)/(del x del y) , (del^3 vec f)/(del x ² del y) e (del^3 vec f)/(del z ³) ² ² ² ³Das seguintes funções:c) vec f (x , y , z) =
Encontrar (del^2 vec f)/(del x^2) (P_0) + (del^2 vec f)/(del y^2) (P_0) - 4 (del^2 vec f)/(del z^2) (P_0) . Dados:vec f (x , y , z) = (x + y + z , (x + y + z)^2 , (x + y + z)^3) e P_0 (1 , 0 , 1)
Determinar (del^3 vec f)/(del x del y del z) e (del^4 vec f)/(del x del z^2 del y) sendo vec f (x , y , z) = (x y^4 , x z^3 + 1 , x e^(y z)) .
Dada a função vec f (x , y) = (x y z , x y , sqrt(x^2 + z^2)) , determinar (del^2 vec f)/(del x^2) , (del^2 vec f)/(del y^2) e (del^2 vec f)/(del x del y) .