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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 48

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

f x , y = l n ⁡ ( 3 x + 5 y )

Passo 1

Fala ai pessoal! Tranquilo? Vamos resolver uma questãozinha de derivada?

Pode perceber que a função é um logaritmo. Sendo assim, podemos aplicar a regra da cadeia. Para resolvermos essa derivada.

  1. Regra da cadeia

    2. d f d x ​ = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

  2. Regra do Quociente

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

Aliás, quando a questão pede derivada de segunda ordem, significa que precisamos derivar apenas duas vezes em relação a x , em relação a y e em relação x e y .

Se ligou nas dicas? Agora podemos começar agora!

Passo 2

Vamos começar fazendo a derivada parcial em relação a x dessa função:

d f d x = d d x ln ⁡ 3 x + 5 y

Vamos aplicar a Regra da Cadeia

d f d x ​ = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

u = ln ⁡ 3 x + 5 y

u ' = 1 3 x + 5 y

v = 3 x + 5 y

v ' = 3

Substituindo os termos

f x = 1 3 x + 5 y ∙ 3

f x = 3 3 x + 5 y

Passo 3

Agora vamos calcular a segunda derivada em relação a x .

d 2 f d x 2 = d f x d x = d d x 3 3 x + 5 y

f x x = d d x 3 3 x + 5 y

Como temos uma fração podemos realizar a regra do quociente

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

u = 3

u ' = 0

v = 3 x + 5 y

v ' = 3

Substituindo os termos, temos

f x x = 0 ⋅ 3 x + 5 y - 3 ⋅ 3 3 x + 5 y 2

f x x = - 9 ( 3 x + 5 y ) ²

Passo 4

Vamos calcular f y y , começando por f y

d f d y = d d y ln ⁡ 3 x + 5 y

Vamos aplicar a Regra da Cadeia

d f d y ​ = u ' ( v ( y ) ) ⋅ v ' ( y )

u = ln ⁡ 3 x + 5 y

u ' = 1 3 x + 5 y

v = 3 x + 5 y

v ' = 5

Substituindo os termos

f y = 1 3 x + 5 y ∙ 5

f y = 5 3 x + 5 y

Passo 5

Vamos calcular f y y

d 2 f d y ² = d f y d y = d d x 5 3 x + 5 y

f y y = d d y 5 3 x + 5 y

Como temos uma fração podemos realizar a regra do quociente

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

u = 5

u ' = 0

v = 3 x + 5 y

v ' = 5

Substituindo os termos, temos

f y y = 0 ⋅ 3 x + 5 y - 5 ⋅ 5 3 x + 5 y 2

f y y = - 25 ( 3 x + 5 y ) ²

Passo 6

Agora falta as derivadas f x y ou f y x e que podem ser encontradas da seguinte maneira:

f x y = f y x = d d y 3 3 x + 5 y

Como temos uma fração podemos realizar a regra do quociente

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

u = 3

u ' = 0

v = 3 x + 5 y

v ' = 5

Substituindo os termos, temos

f y y = 0 ⋅ 3 x + 5 y - 3 ⋅ 5 3 x + 5 y 2

f y y = - 15 3 x + 5 y 2

Resposta

f x x = - 9 3 x + 5 y 2

f y y = - 25 3 x + 5 y 2

f x y = f y x = - 15 3 x + 5 y 2

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