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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 4.10 - Ex. 47

Nos exercícios 42   a   47 , determinar as derivadas parciais indicadas

z = 2 x y + y 2 , ∂ 2 z ∂ x ∂ y , ∂ 3 z ∂ x 3

Passo 1

Galerinha, vamos derivar essa função aí! A primeira derivada, em relação a x , é dada por:

∂ z ∂ x = 1 2 2 x y + y 2 - 1 2 2 y

∂ z ∂ x = y 2 x y + y 2 - 1 2

Derivando mais uma vez em relação a x , temos:

∂ 2 z ∂ x 2 = - 1 2 y 2 x y + y 2 - 3 2 2 y

∂ 2 z ∂ x 2 = - y 2 2 x y + y 2 - 3 2

Por fim, derivando uma terceira vez em relação a x :

∂ 2 z ∂ x 3 = - - 3 2 y 2 2 x y + y 2 - 5 2 2 y

∂ 2 z ∂ x 3 = 3 y 3 2 x y + y 2 - 5 2

Passo 2

Agora, vamos derivar ∂ z ∂ x em relação a y :

∂ 2 z ∂ x ∂ y = 2 x y + y 2 - 1 2 + - 1 2 y 2 x y + y 2 - 3 2 2 x + 2 y

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - y x + y 2 x y + y 2 - 3 2 + 2 x y + y 2 - 1 2

Resposta

A derivada é igual a:

∂ 2 z ∂ x ∂ y = - y x + y 2 x y + y 2 - 3 2 + 2 x y + y 2 - 1 2

∂ 2 z ∂ x 3 = 3 y 3 2 x y + y 2 - 5 2

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