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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 50

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

z = y   t g ( 2 x )

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa!

O objetivo da questão é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função

z = y   t g 2 x

Para resolver, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem z x ​ e z y , que representam as taxas de variação de z em relação a x e y , respectivamente. Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem z x x , z x y ​, z y y e z y x que indicam como as taxas de variação das derivadas parciais de primeira ordem mudam em relação a cada variável.

Vamos começar a calcular!

Passo 2

Existem três derivadas parciais de segunda ordem e que são iguais a:

f x x , f x y   e   f y y

Lembrando que f x y = f y x

Neste passo vamos lembrar de algumas regras de derivação

  1. Regra do quociente

    2. v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x 2

  2. Regra da cadeia

d z d x ​ = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

Agora é só analisar quando precisamos utiliza. 😊

Passo 3

Vamos começar fazendo a primeira derivada em relação a x . Para melhorar a resolução iremos substituir t g   ( 2 x ) por   s e n ( 2 x ) cos ⁡ ( 2 x ) . Lembrando como que se faz a derivada da tangente, utilizando a regra do quociente.

d d x t g   x = d d x sen ⁡ x cos ⁡ x = ( sen ⁡ x ) ' ( cos ⁡ x ) - ( sen ⁡ x ) ( cos ⁡ x ) ' cos 2 ⁡ x

d d x t g   x = co s 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x t g   x = 1 cos 2 ⁡ x

d d x t g   x = sec 2 ⁡ x

Dessa forma a derivada em x de t g ( 2 x ) , pela regra da cadeia, será:

d d x t g   2 x = sec 2 ⁡ 2 x × d d x 2 x = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x )

Passo 4

Também precisaremos saber como se faz a derivada de sec 2 ⁡ ( x )   para encontrarmos a derivada segunda.

Da relação fundamental da trigonometria sabemos que:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1

Dividindo tudo por cos 2 ⁡ x   temos:

t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x

Logo a derivada de sec 2 ⁡ x   será:

d d x ( sec 2 ⁡ x ) = d d x t g 2 x + d d x ( 1 )

d d x sec 2 ⁡ x = 2 t g x × sec 2 ⁡ ( x ) + 0

Passo 5

Fazendo então as derivadas em relação a x de z nós teremos pela regra do produto:

z x = d y d x t g 2 x + y d t g ( 2 x ) d x = 0 + 2 y s e c 2 ( 2 x )

Agora a segunda derivada.

z x x = 0 + 2 y d d x ( sec 2 ⁡ ( 2 x ) )  

Onde temos a derivada da secante ao quadrado no passo 1, mas não devemos esquecer da regra da cadeira no 2 x , isso nos dá:

z x x = 4 y t g 2 x sec 2 ⁡ ( 2 x ) × 2 = 8 y t g 2 x sec 2 ⁡ ( 2 x )

Fazer z x y vai ser fácil com esse z x aí:

z x y = d 2 y s e c 2 2 x d y = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x )

Passo 6

Agora vamos para as derivadas em y :

z y = d y d y t g 2 x + y d t g ( 2 x ) d y = t g 2 x + 0

Dessa forma z y y será:

z y y = d t g ( 2 x ) d y = 0

Tem nada em y na fórmula de z y , logo é zero.

Para confirmar z y x será:

z y x = d t g 2 x d x = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x ) = z x y

Tudo correto então, vamos para a próxima pessoar.

Resposta

z x x = 8 y t g 2 x sec 2 ⁡ ( 2 x )

z x y = 2 sec 2 ⁡ ( 2 x )

z y y = 0

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