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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 49

Determine as derivadas parciais de segunda ordem

z = x x + y

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa!

O objetivo da questão é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função

z = x x + y

Para resolver, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem z x ​ e z y , que representam as taxas de variação de z em relação a x e y , respectivamente. Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem z x x , z x y ​, z y y e z y x que indicam como as taxas de variação das derivadas parciais de primeira ordem mudam em relação a cada variável.

Vamos começar a calcular!

Passo 2

Existem três derivadas parciais de segunda ordem e que são iguais a:

f x x , f x y   e   f y y

Lembrando que f x y = f y x

Neste passo vamos lembrar da Regra do quociente, em que vamos utilizar muito!

v x u x ​ ' = u ' x ⋅ v x - u x ⋅ v ' x ​ v x ²

Agora é só analisar quando precisamos utiliza. 😊

Passo 3

Começando pelas derivadas em relação a x temos a seguinte regra do quociente:

u = x

v = x + y

u ' = 1

v ' = 1

Substituindo

z x = ( 1 ⋅ x + y ) - ( x ⋅ 1 ) ​ ( x + y ) 2

z x = x + y - x x + y 2

z x = y x + y 2

Não há muito a necessidade de regra da cadeia nesse caso e como a função se chama z logo a primeira derivada em relação a x se chama z x x . E y aqui não depende de x , logo d y d x = 0

Passo 4

Agora para a segunda derivada de z x .

z x = y x + y 2

Para a regra do quociente, temos.

u = y

v = ( x + y ) ²

u ' = 0

v ' = 2 ( x + y )

Substituindo

z x x = ( 0 ∙ ( x + y ) ) - y ∙ 2 x + y ( x + y ² ) ²  

z x x = 0 - 2 y x + y x + y 4  

z x x = - 2 y x + y 3

Passo 5

Agora vamos fazer z x y .

z x = y x + y 2

Para a regra do quociente.

u = y

v = ( x + y ) ²

u ' = 1

v ' = 2 ( x + y )

Substituindo

z x x = ( 1 ∙ ( x + y ) ² ) - y ∙ 2 x + y ( x + y ² ) ²  

z x y = x + y 2 - 2 y x + y x + y 4

Abrindo os termos resolvendo produtos notáveis.

z x y = x + y - 2 y x + y 3

Simplificando

z x y = x - y x + y 3

Vale lembrar que z x y = z y x

Passo 6

Agora vamos para as derivadas em y , temos que

z = x x + y

Para a Regra do quociente

u = x

v = x + y

u ' = 0

v ' = 1

z y = 0 ∙ ( x + y ) - x ∙ 1 ( x + y ) ²  

z y = - x x + y 2

Passo 7

Agora vamos fazer z y y . Temos:

z y = - x x + y 2

Para a regra do quociente

u = - x

v = ( x + y ) ²

u ' = 0

v ' = 2 ( x + y )

Substituindo

z y y = 0 ∙ x + y 2 - - x ∙ 2 x + y x + y 4

z y y = 0 + 2 x x + y x + y 4

Simplificando

z y y = 2 x x + y 3

Passo 8

Agora vamos fazer z y x . Temos:

z y = - x x + y 2

Para a regra do quociente

u = - x

v = ( x + y ) ²

u ' = - 1

v ' = 2 ( x + y )

Substituindo

z y x = - x + y 2 + 2 x x + y x + y 4

Cortando o termo ( x + y ) , temos

z y x = - x + y + 2 x x + y 3

Simplificando

z y x = x - y x + y 3

z y x = z x y

Logo está tudo certinho, até a próxima!

Resposta

z x x = - 2 y x + y 3

z x y = x - y x + y 3

z y y = 2 x x + y 3

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