Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 54

Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

f x , y = ln ⁡ ( a x + b y )

Passo 1

Olá, amigo. Vou te ajudar a resolver mais uma atividade. Dada a função:

f x , y = ln ⁡ ( a x + b y )

Vamos lá, a gente tem que encontrar

f x x ,   f y y ,   f x y   e   f y x

Isso é, todas as derivadas parciais de segunda ordem da nossa função. Para calcular uma derivada parcial de uma função de duas variáveis devemos considerar uma variável como constante, e devemos derivar em relação a outa variável.

Para encontrarmos a segunda derivada, iremos repetir o processo, porém agora para as derivadas parciais f x , f y .

Passo 2

Vamos começar então derivando:

f x , y = ln ⁡ ( a x + b y )

Em relação a x , e considerando y constante:

f x = ∂ ∂ x ln ⁡ a x + b y

Utilizando a regra da cadeia para derivar o logaritmo:

f x = 1 a x + b y ⋅ ∂ ∂ x a x + b y

Agora derivando a parte que está dentro do logaritmo para completarmos a regra da cadeia:

f x = 1 ( a x + b y ) ⋅ ( a ) ∂ ∂ x ( x ) + ∂ ∂ x ( b y )

f x = 1 ( a x + b y ) ( ( a ) ( 1 ) + ( 0 ) )

Simplificando:

f x = 1 a x + b y ( a )

Nossa primeira derivada é:

f x = a a x + b y

Passo 3

Vamos repetir o processo, agora derivando em relação a y :

f y = ∂ ∂ y ( l n ⁡ ( a x + b y ) )

Aplicando a regra da cadeia para derivadas:

f y = 1 ( a x + b y ) ⋅ ∂ ∂ y ( a x + b y )

Agora derivando a parte interna do logaritmo para completarmos a regra da cadeia:

f y = 1 ( a x + b y ) ⋅ ∂ �� y ( a x ) + ( b ) ∂ ∂ y ( y )

f y = 1 a x + b y 0 + b 1

Organizando:

f y = 1 a x + b y ( b )

Temos que nossa derivada é então:

f y = b a x + b y

Passo 4

Agora, vamos encontrar ( f x x ) . Para encontrar isso, precisamos obter a derivada parcial de ( f x ) em relação a ( x ) . Portanto, trataremos ( y ) como constante. Portanto, temos:

f x x = ∂ ∂ x a a x + b y

Vamos então derivar, veja que precisaremos utilizar a regra do quociente para derivadas, veja que a constante a sai da derivada:

f x x = a ∂ ∂ x 1 a x + b y

Aplicando a regra do quociente:

f x x = a ∂ ∂ x - a x + b y a x + b y 2

Como o denominador já foi elevado ao quadrado, ele pode sair da derivada:

f x x = - a a x + b y 2 ∂ ∂ x a x + b y

Continuando o processo de derivação para o numerador:

f x x = - a a x + b y 2 a ⋅ ∂ ∂ x x + ∂ ∂ x b y

f x x = - a a x + b y 2 a 1 + 0

f x x = - a a x + b y 2 a

Temos então:

f x x = - a 2 a x + b y 2

Passo 5

Agora, vamos encontrar ( f x y ) . Para encontrar isso, precisamos obter a derivada parcial de ( f x ) em relação a ( y ) . Portanto, trataremos ( x ) como constante. Portanto, temos

f x y = ∂ ∂ y a a x + b y

Tirando a constante a antes de aplicarmos a regra do quociente:

f x y = ( a ) ∂ ∂ y 1 a x + b y

Aplicando a regra do quociente:

f x y = ( a ) ∂ ∂ y - a x + b y ( a x + b y ) 2

Podemos retirar o denominador, pois ele já foi elevado ao quadrado e não será mais modificado pela regrado do quociente:

f x y = - a ( a x + b y ) 2 ∂ ∂ y ( a x + b y )

Derivando o numerador:

f x y = - a ( a x + b y ) 2 ∂ ∂ y ( a x ) + ( b ) ∂ ∂ y ( y )

f x y = - a ( a x + b y ) 2 [ 0 + ( b ) ( 1 ) ]

f x y = - a ( a x + b y ) 2 [ b ]

Temos então:

f x y = - a b ( a x + b y ) 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar ( f y x ) . Para encontrar isso, precisamos obter a derivada parcial de ( f y ) em relação a ( x ) . Portanto, trataremos ( y ) como constante. Portanto, temos

f y x = ∂ ∂ x b a x + b y

Retirando novamente a constante da derivada para a aplicação da regra do quociente:

f y x = ( b ) ∂ ∂ x 1 a x + b y

Aplicando então a regra do quociente:

f y x = ( b ) ∂ ∂ x - a x + b y ( a x + b y ) 2

Retirando o denominador:

f y x = - b ( a x + b y ) 2 ∂ ∂ x ( a x + b y )

Derivando então o numerador da regra:

f y x = - b ( a x + b y ) 2 ( a ) ∂ ∂ x ( x ) + ∂ ∂ x ( b y )

f y x = - b ( a x + b y ) 2 [ ( a ) ( 1 ) + ( 0 ) ]

f y x = - b ( a x + b y ) 2 [ a ]

Temos então que:

f y x = - a b ( a x + b y ) 2

Passo 7

Agora, vamos encontrar ( f y y ) . Para encontrar isso, precisamos obter a derivada parcial de ( f y ) em relação a ( y ) . Portanto, trataremos ( x ) como constante. Portanto, temos

f y y = ∂ ∂ y b a x + b y

Vamos novamente aplicar a regra do quociente:

f y y = ( b ) ∂ ∂ y 1 a x + b y

Aplicando:

f y y = ( b ) ∂ ∂ y - a x + b y ( a x + b y ) 2

Derivando agora o numerador:

f y y = - b ( a x + b y ) 2 ∂ ∂ y ( a x + b y )

Organizando a derivada:

f y y = - b ( a x + b y ) 2 ∂ ��� y ( a x ) + ( b ) ∂ ∂ y ( y )

Derivando:

f y y = - b ( a x + b y ) 2 [ 0 + ( b ) ( 1 ) ]

f y y = - b ( a x + b y ) 2 [ b ]

Temos então:

f y y = - b 2 ( a x + b y ) 2

Resposta

f x x = - a 2 a x + b y 2

f x y = - a b a x + b y 2

f y x = - a b a x + b y 2

f y y =   - b 2 a x + b y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 25-28. f x ,y = x + x y - 5 x 3 + ln ⁡ x 2 + 1
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Nos Exercícios 51-54, verifique que w_x y = w_y x .
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções nos Exercícios 41-50.