Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.3 - Ex. 51
Determine as derivadas parciais de segunda ordem
Passo 1
Fala ai galerinha. De boa!
O objetivo da questão é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
Para resolver, primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem e , que representam as taxas de variação de em relação a e , respectivamente. Em seguida, calculamos as derivadas parciais de segunda ordem , , e que indicam como as taxas de variação das derivadas parciais de primeira ordem mudam em relação a cada variável.
Existem três derivadas parciais de segunda ordem e que são iguais a:
Lembrando que
Neste passo vamos lembrar da regra de derivação que vamos utilizar.
Regra da cadeia
Agora é só analisar quando precisamos utilizar. 😊
Passo 2
Vamos começar calculando as derivadas em relação a :
Como na questão vimos que pela regra do produto as funções que possuem não fazem a menor diferença, logo vamos tratá-la como constante por que dá no mesmo.
Pela regra da cadeia temos:
Então:
Passo 3
Agora para a derivada segunda, vamos derivar em relação a novamente:
De novo vamos considerar , como uma constante e aplicar a Regra da Cadeia com o termo .
Passo 4
Podemos resolver também a expressão de , vamos pegar a derivada primeira de e derivar agora em relação a .
Veja que agora o termo da exponencial será a nossa contante, pois não depende de .
Resultando em
Passo 5
Agora vamos para as derivadas em da função. Vamos pegar a função original e derivar duas vezes em relação a .
Perceba que agora o termo da exponencial será a nossa contante, pois não depende de .
Sem complicação né? Derivada de seno é cosseno e derivada de cosseno é menos seno e por aí vai.
Logo a derivada segunda será:
Vamos confirmar as nossas ações fazendo :
Pela Regra da cadeia
Está tudo ok! Vamos para a próxima