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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 58

Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

w = 1 + u v 2

Passo 1

Vamos lá, a gente tem que encontrar

w u u ,   w u v ,   w v u ,   w v v

Pra isso, primeiro a gente faz as derivadas de primeira ordem. Vamos lá...

w u = v 2 2 1 + u v 2

w v = 1 2 1 + u v 2 2 u v

w v =   u v 1 + u v 2

Show! Agora a gente deriva isso de novo em relação a cada uma variável.

Passo 2

Derivando w u em relação a u de novo:

w u u = ∂ ∂ u v 2 2 1 + u v 2 = v 2 2 ∂ ∂ u 1 + u v 2 - 1 2  

w u u = v 2 2 - 1 2 1 + u v 2 - 3 2 v 2

w u u = - v 4 4 1 + u v 2 - 3 / 2

w u u = - v 4 4 1 + u v 2 3 / 2

E agora em relação a v temos que usar a regra do quociente

w u v = ∂ ∂ v v 2 2 1 + u v 2 = 2 v 2 1 + u v 2 - v 2 2 1 2 1 + u v 2 - 1 2 2 u v 2 1 + u v 2 2

w u v = 4 v 1 + u v 2 - 2 u v 3 1 + u v 2 4 1 + u v 2 = 4 v 1 + u v 2 - 2 u v 3 4 1 + u v 2 3 2

w u v = 4 v + 4 u v 3 - 2 u v 3 4 1 + u v 2 3 / 2 = 4 v + 2 u v 3 4 1 + u v 2 3 / 2

w u v = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

Passo 3

Para determinar w v u vamos usar a seguinte propriedade

∂ 2 w ∂ u ∂ v = ∂ 2 w ∂ v ∂ u

Então

w v u = w u v = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

E agora vamos determinar w v v

w v v = ∂ ∂ v u v 1 + u v 2

w v v = u 1 + u v 2 - u v 1 2 1 + u v 2 - 1 2   2 u v 1 + u v 2 2

w v v = u 1 + u v 2 - u 2 v 2 1 + u v 2 1 + u v 2 = u 1 + u v 2 - u 2 v 2 1 + u v 2 3 / 2

w v v = u + u 2 v 2 - u 2 v 2 1 + u v 2 3 2 = u 1 + u v 2 3 / 2

Prontinho! Calculamos todas as derivadas de segunda ordem😊

Resposta

w u u = - v 4 4 1 + u v 2 3 / 2

w u v = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

w v u = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

w v v =   u 1 + u v 2 3 / 2

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Nos exercício de 1 a 4, calcule as derivadas parciais indicadas.3- f x ,y = ln ⁡ ( x 2 + 8 y - 3 z 2 ) , a ) f x x x ,y ,z , b ) f z y ( x ,y ,z )
8. Mostre que as funções satisfazem as respectivas equações de laplace:a) f ( x , y ) = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , mostra que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 .
10- Seja u x ,y = f x - a y + g ( x + a y ) , onde a é uma constante real e f e g são funções quaisquer de uma variável real, deriváveis até segunda ordem. Verifique que ∂ 2 u ∂ y 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2
7. Se f x , y = x e x y , mostre que x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = 0
6-Se f x ,y = ln ⁡ x - y + t g x + y , mostre que ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ y 2