Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.

w = raiz(1 + u * v^2)

Passo 1

Vamos lá, a gente tem que encontrar

w u u ,   w u v ,   w v u ,   w v v

Pra isso, primeiro a gente faz as derivadas de primeira ordem. Vamos lá...

w u = v 2 2 1 + u v 2

w v = 1 2 1 + u v 2 2 u v

w v =   u v 1 + u v 2

Show! Agora a gente deriva isso de novo em relação a cada uma variável.

Passo 2

Derivando w u em relação a u de novo:

w u u = ∂ ∂ u v 2 2 1 + u v 2 = v 2 2 ∂ ∂ u 1 + u v 2 - 1 2  

w u u = v 2 2 - 1 2 1 + u v 2 - 3 2 v 2

w u u = - v 4 4 1 + u v 2 - 3 / 2

w u u = - v 4 4 1 + u v 2 3 / 2

E agora em relação a v temos que usar a regra do quociente

w u v = ∂ ∂ v v 2 2 1 + u v 2 = 2 v 2 1 + u v 2 - v 2 2 1 2 1 + u v 2 - 1 2 2 u v 2 1 + u v 2 2

w u v = 4 v 1 + u v 2 - 2 u v 3 1 + u v 2 4 1 + u v 2 = 4 v 1 + u v 2 - 2 u v 3 4 1 + u v 2 3 2

w u v = 4 v + 4 u v 3 - 2 u v 3 4 1 + u v 2 3 / 2 = 4 v + 2 u v 3 4 1 + u v 2 3 / 2

w u v = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

Passo 3

Para determinar w v u vamos usar a seguinte propriedade

∂ 2 w ∂ u ∂ v = ∂ 2 w ∂ v ∂ u

Então

w v u = w u v = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

E agora vamos determinar w v v

w v v = ∂ ∂ v u v 1 + u v 2

w v v = u 1 + u v 2 - u v 1 2 1 + u v 2 - 1 2   2 u v 1 + u v 2 2

w v v = u 1 + u v 2 - u 2 v 2 1 + u v 2 1 + u v 2 = u 1 + u v 2 - u 2 v 2 1 + u v 2 3 / 2

w v v = u + u 2 v 2 - u 2 v 2 1 + u v 2 3 2 = u 1 + u v 2 3 / 2

Prontinho! Calculamos todas as derivadas de segunda ordem😊

Resposta

w u u = - v 4 4 1 + u v 2 3 / 2

w u v = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

w v u = 2 v + u v 3 2 1 + u v 2 3 / 2

w v v =   u 1 + u v 2 3 / 2

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