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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2c

Calcule a derivada

y = x 5^(x^2)

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é rescrever essa equação

y = x 5^(x^2)

Temos que

5^(x^2) = e^(ln 5^(x^2)) -> e^(x^2 ln 5)

Entao

y = x e^(x^2 ln 5)

Temos uma multiplicação de funções e uma função composta. Então saca só que o que vai rolar. Precisamos usar tanto a regra da cadeia quanto a regra do produto.

Vamos dar uma lembrada, abaixo temos a regra da cadeia.

(d)/(d x) (f ( g (x)) = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Agora a regra do produto

(d)/(d x) (f * g) = f^' g + f g '

Pronto, agora já estamos habilitados a ir em frente

(d y)/(d x) = ( x ) ' e^(x^2 ln 5) + x (e^(x^2 ln 5))^'

(d y)/(d x) = (1) e^(x^2 ln 5) + x (e^(x^2 ln 5))^'

Precisamos calcular a derivada do e^(x^2 ln 5) . Então:

(d)/(d x) (e^(x^2 ln 5)) = e^(x^2 ln 5) * (d)/(d x) (x^2 ln 5)

= e^(x^2 ln 5) * ln 5 * 2 x

= 2 x ln 5 * e^(x^2 ln 5)

Logo:

(d y)/(d x) = e^(x^2 ln 5) + x * 2 x ln 5 * e^(x^2 ln 5)

(d y)/(d x) = e^(x^2 ln 5) + 2 x^2 ln 5 * e^(x^2 ln 5)

Agora para ficar mais bonita a apresentação podemos voltar com

e^(x^2 ln 5) = 5^(x^2)

Assim fica :

(d y)/(d x) = 5^(x^2) (1 + 2 x^2 ln 5)

Prontinho, terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução 😊

Resposta

(d y)/(d x) = 5^(x^2) (1 + 2 x^2 ln 5)

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