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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2b

Calcule a derivada

y = ln (3 x + sqrt(1 + 9 x^2))

Passo 1

Essa equação do jeito que esta parece muito estranha vamos reescrever ela

y = ln (3 x + sqrt(1 + 9 x^2))

y = ln (3 x + (1 + 9 x^2)^(1 // 2))

Agora ficou melhor. Temos uma função composta aqui. Então temos que usar a Regra da cadeia. Vamos só dar uma lembrada de como ela funciona

(d)/(d x) (f ( g (x)) = f^' (g (x)) * g ' ( x )

Ótimo, podemos começar:

y = ln (3 x + (1 + 9 x^2)^(1 // 2))

(d y)/(d x) = (1)/((3 x + sqrt(1 + 9 x^2))) * (d)/(d x) (3 x + sqrt(1 + 9 x^2))

Passo 2

Vamos calcular a segunda parte da derivada

(d)/(d x) (3 x + sqrt(1 + 9 x^2))

= 3 + (1)/(2 sqrt(1 + 9 x^2)) * 9 * 2 x

= 3 + (9 x)/(sqrt(1 + 9 x^2))

Vamos ajeitar um pouquinho

= (3 sqrt(1 + 9 x^2) + 9 x)/(sqrt(1 + 9 x^2))

= (3 (3 x + sqrt(1 + 9 x^2)))/(sqrt(1 + 9 x^2))

Agora sim , a cara disso está ficando boa

Passo 3

Temos então que:

(d y)/(d x) = (1)/((3 x + sqrt(1 + 9 x^2))) * (3 (3 x + sqrt(1 + 9 x^2)))/(sqrt(1 + 9 x^2))

= (3)/(sqrt(1 + 9 x^2))

Logo

(d y)/(d x) = (3)/(sqrt(1 + 9 x^2))

Prontinho, terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução 😊

Resposta

(d y)/(d x) = (3)/(sqrt(1 + 9 x^2))

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