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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 43

Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44.

y = x - 1 x 2 + 3 x - 5

Passo 1

O exercício pede para obter as derivadas de todas as ordens de f x . Como f x é um polinômio, temos que derivar até obtermos a derivada igual a 0 . Para ficar mais fácil, vamos fazer o chuveirinho:

y = x - 1 x 2 + 3 x - 5

y = x 3 + 3 x 2 - 5 x - x 2 - 3 x + 5

y = x 3 + 2 x 2 - 8 x + 5

Assim, vamos começar obtendo a derivada de ordem 1 de f ( x ) :

y ' = x 3 + 2 x 2 - 8 x + 5 '

Como temos uma soma

y ' = f + g + h + i ' = f ' + g ' + h ' + i '

Logo,

y ' = 3 x 3 - 1 + 2 ∙ 2 x 2 - 1 - 8 x 1 - 1 + 0

y ' = 3 x 2 + 4 x - 8

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 2:

y ' ' = y ' '

y ' ' = 3 x 2 + 4 x - 8 '

y ' ' = 3 ∙ 2 x 2 - 1 + 4 x 1 - 1 + 0

y ' ' = 6 x + 4

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

y ' ' ' = 6 x + 4 '

y ' ' ' = 6 x 1 - 1 + 0

y ' ' ' = 6

Passo 4

Para obter a derivada de ordem 4:

y ' ' ' ' = 6 '

y ' ' ' ' = 0

Logo,

y n = 0

Resposta

y ' = 3 x 2 + 4 x - 8

y ' ' = 6 x + 4

y ' ' ' = 6

y n = 0 ,   n ≥ 4

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