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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 48

Determine a primeira e a segunda derivadas das funções nos Exercícios 45-52.

u = x 2 + x x 2 - x + 1 x 4

Passo 1

A questão pede para obter a primeira e a segunda derivadas de u x . Como temos uma fração, utilizaremos da regra do quociente

u ' = f g ' = f ' g - f g ' g 2

Passo 2

Obtendo a derivada de ordem 1:

u ' = x 2 + x x 2 - x + 1 x 4 '

u ' = x 2 + x x 2 - x + 1 ' x 4 - x 2 + x x 2 - x + 1 x 4 ' x 4 2

Como temos um produto em f x = x 2 + x x 2 - x + 1 , utilizaremos a regra do produto, assim

f ' x = x 2 + x x 2 - x + 1 ' = x 2 + x ' x 2 - x + 1 + x 2 + x x 2 - x + 1 '

f ' x = 2 x 2 - 1 + x 1 - 1 x 2 - x + 1 + x 2 + x 2 x 2 - 1 - x 1 - 1 + 0

f ' x = 2 x + 1 x 2 - x + 1 + x 2 + x 2 x - 1

f ' x = 2 x 3 - 2 x 2 + 2 x + x 2 - x + 1 + 2 x 3 - x 2 + 2 x 2 - x

f ' x = 4 x 3 + 1

Substituindo f ' x na equação u '

u ' = 4 x 3 + 1 x 4 - x 2 + x x 2 - x + 1 4 x 4 - 1 x 8

u ' = 4 x 7 + x 4 - x 4 - x 3 + x 2 + x 3 - x 2 + x 4 x 3 x 8

u ' = 4 x 7 + x 4 - x 4 + x 4 x 3 x 8

u ' = 4 x 7 + x 4 - 4 x 7 + 4 x 4 x 8

u ' = 4 x 7 + x 4 - 4 x 7 - 4 x 4 x 8

u ' = - 3 x 4 x 8

u ' = - 3 x 4 = - 3 x - 4

Pronto, calculamos a primeira derivada de u x .

Passo 3

A próxima derivada é obtida por:

u ' ' = - 3 x - 4 '

u ' ' = - 3 ∙ - 4 x - 4 - 1

u ' ' = 12 x - 5

Fim!!!

Resposta

u ' = - 3 x - 4

u ' ' = 12 x - 5

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