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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 1f

Calcule, pela definição, a derivada da função dada, no ponto dado.

g x = x 2 + x em p = 1

Passo 1

A derivada de g em p pode ser calculada pelo limite:

g ' p = lim h → 0 ⁡ g h + p - g p h

Então:

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + h 2 + 1 + h - 1 2 + 1 h

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ 1 + 2 h + h 2 + 1 + h - 2 h

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ h 2 + 3 h + 2 - 2 h

Passo 2

Podemos multiplicar pelo conjugado:

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ h 2 + 3 h + 2 - 2 h h 2 + 3 h + 2 + 2 h 2 + 3 h + 2 + 2

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ h 2 + 3 h + 2 - 2 h h 2 + 3 h + 2 + 2

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ h 2 + 3 h h h 2 + 3 h + 2 + 2

g ' 1 = lim h → 0 ⁡ h + 3 h 2 + 3 h + 2 + 2 = 0 + 3 0 + 0 + 2 + 2

g ' 1 = 3 2 2 ⋅ 2 2 = 3 2 4

Logo:

g ' 1 = 3 2 4

Resposta

g ' 1 = 3 2 4

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