Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 2d

Calcule a derivada

y = (2 + sen x)^x

Passo 1

Nessas questões com funções sendo elevadas a funções, o macete é escrever dessa forma:

y = e^(ln (y))

Então a nossa função vai ficar assim: y = (2 + s e n x)^x = e^(ln (2 + s e n x)^x)

E aí, usando a propriedade de logaritmo, ln_b a^c = c l n_b a , vamos ficar com:

y = e^(x l n (2 + s e n x))

Passo 2

Beleza, a função já está ajeitadinha do jeito mais conveniente. Agora vamos derivar! Não pode esquecer da regra da cadeia, hein!

(d)/(d x) (2 + sen x)^x = (d)/(d x) (e^(x l n (2 + s e n x)))

Essa função tá com a cara de e^(f (x)) . A derivada desse uma função assim é dada por:

(d)/(d x) (e^(f (x))) = e^(f (x)) * (d)/(d x) f (x)

Então vai ficar assim, ó:

(d)/(d x) (e^(x l n (2 + s e n x))) = (e^(x l n (2 + s e n x))) * (d)/(d x) (x * ln (2 + sen x))

Passo 3

Beleza, vamos fazer agora mais um passo, pra podermos calcular a derivada desse termo que apareceu na cadeia.

(d)/(d x) (x * ln (2 + sen x))

Pra derivar isso, vamos usar a regra do produto!

(d)/(d x) (x * ln (2 + sen x)) = ln (2 + s e n x) * ((d)/(d x) x) + x * ((d)/(d x) ln (2 + s e n x))

Aqui aparece a derivada de l n . Como já sabemos,

(d)/(d x) ln (g (x)) = (1)/(g (x)) * (d)/(d x) g (x)

Usando isso, vamos obter:

(d)/(d x) (x * ln (2 + sen x)) = ln (2 + s e n x) + x * (1)/(2 + s e n x) * (d)/(d x) (2 + s e n x)

Essa é fácil, derivada de função trigonométrica!

(d)/(d x) s e n x = c o s x

Vai ficar:

(d)/(d x) (x * ln (2 + sen x)) = ln (2 + s e n x) + x * (c o s x)/(2 + s e n x)

Passo 4

Beleza, agora é só substituir na derivada que estávamos calculando!

(d)/(d x) (e^(x l n (2 + s e n x))) = (e^(x l n (2 + s e n x))) * (d)/(d x) (x * ln (2 + sen x))

(d)/(d x) (e^(x l n (2 + s e n x))) = (e^(x l n (2 + s e n x))) (ln (2 + s e n x) + (x * c o s x)/(2 + s e n x))

Voltando com aquela primeira parcela para a forma original dela:

(d)/(d x) (e^(x l n (2 + s e n x))) = (2 + s e n x)^x (ln (2 + s e n x) + (x * c o s x)/(2 + s e n x))

Resposta

(d y)/(d x) = (2 + s e n x)^x (ln (2 + s e n x) + (x * c o s x)/(2 + s e n x))

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44. y = x - 1 x 2 + 3 x - 5
Tangente quadrática à função identidade A curva y = a x 2 + b x + c passa pelo ponto 2,1 , tangenciando a reta y = x na origem. Determine a ,b e c .
Determine todos os pontos x , y no gráfico de y = x / ( x - 2 ) com tangentes perpendiculares à reta y = 2 x + 3 .
Determine as tangentes para a serpentina de Newton (representada a seguir) na origem e no ponto 1,2 .
Determine as derivadas de todas as ordens das funções nos Exercícios 41-44. y = x 5 120