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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.4 - Ex. 30

Determine a diferencial da função.

L = x z e - y 2 - z 2

Passo 1

Fala ai galerinha. De boa?

A questão nos pede a diferencial da função. E o que seria isso? :0

Dada um função de duas variáveis L = L ( x , y , z ) , a diferencial total d L representaa a variação infinitesimal da função L . Essa variação pode ser expressa como a soma das contribuições das variações individuais em cada variações.

d L = d L d x d x + d L d y d y + d L d z d z

Para resolver está questão temos que calcular a derivada parcial de L x , y , z em relação a x , em relação a y e depois que relação a z .

Vamos começar!!!

Passo 2

Para L x

d L d x = d d x x z e - y 2 - z 2

Os termos não dependentes de x , serão termos fixos.

L x = z e - y 2 - z 2 d d x x

L x = z e - y 2 - z 2

Passo 3

Para L y

d L d y = d d y x z e - y 2 - z 2

Os termos não dependentes de y , serão termos fixos.

d L d y = x y d d y e - y 2 - z 2

Teremos que utilizar a Regra da cadeia.

d d y e - y 2 - z 2 = u ' ( v ( x ) ) ⋅ v ' ( x )

d d y e - y 2 - z 2 = e - y 2 - z 2 ∙ d d x - y 2 - z 2

d d y e - y 2 - z 2 = e - y 2 - z 2 - 2 y

d d y e - y 2 - z 2 = - 2 e - y 2 - z 2

Substituindo

d L d x = - 2 x y e - y 2 - z 2

Passo 4

Para L z

d L d z = d d z x z e - y 2 - z 2

Os termos não dependentes de z , serão termos fixos.

d L d z = x d d z z e - y 2 - z 2

Teremos que utilizar a Regra do Produto

u x ∙ v x = u ' x ∙ v x + u x ∙ v ( x ) '

Temos

u = z

u ' = 1

v = e - y 2 - z 2

v ' = - 2 z e - y 2 - z 2

Substituindo os termos

d d z z e - y 2 - z 2 = 1 ∙ e - y 2 - z 2 + z ∙ - 2 z e - y 2 - z 2

= e - y 2 - z 2 - 2 z ² e - y 2 - z 2

Voltando a equação

d L d z = x e - y 2 - z 2 - 2 z 2 e - y 2 - z 2

d L d z = x e - y 2 - z 2 - 2 z 2 e - y 2 - z 2

Passo 5

Desta forma, a diferencial será

d L = z e - y 2 - z 2   d x - 2 x y z e - y 2 - z 2   d y + x e - y 2 - z 2 - 2 x z 2 e - y 2 - z 2 d z

Portanto,

d L = e - y 2 - z 2   z   d x - 2 x y z   d y + x 1 - 2 z 2 d z

Resposta

d L = e - y 2 - z 2   z   d x - 2 x y z   d y + x 1 - 2 z 2 d z

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